2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理学案 新人教B版必修5

1.1.2余弦定理学习目标核心素养1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养．2．通过余弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1．余弦定理(1)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．①已知三边，求三角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？[提示]是．2．余弦定理的变形(1)余弦定理的变形：cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab.(2)利用余弦定理的变形判定角：在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为直角；c2a2＋b2⇔∠C为钝角；c2a2＋b2⇔∠C为锐角．1．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A．13B．－12C．14D．－14A[根据正弦定理，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k0)．则有cosC＝9k2＋4k2－9k22×3k×2k＝13.]2．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或8B[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.因为b0，所以b＝8.]3．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则∠B＝________.60°[cosB＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，∠B＝60°.]4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________.120°[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，又∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝120°.]已知两边及一角解三角形【例1】已知△ABC，根据下列条件解三角形：a＝3，b＝2，∠B＝45°.[解]由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB．∴2＝3＋c2－23·22c．即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22.当c＝6＋22时，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°∠A180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°∠A180°，∴∠A＝120°，∠C＝15°.故c＝6＋22，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝6－22，∠A＝120°，∠C＝15°.已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，∠C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c．[解]5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝35，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝35.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c＝4，即第三边长为4.已知三边或三边关系解三角形【例2】(1)已知△ABC的三边长为a＝23，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的各角度数；(2)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．[解](1)由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴∠A＝60°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝232＋6＋22－2222×23×6＋2＝22，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.(2)∵ca，cb，∴∠C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12，∵0°∠C180°，∴∠C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角∠A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°B[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴∠A＝60°.]正、余弦定理的综合应用[探究问题]1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？[提示]设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C．反之，将sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝π2成立吗？反之，若∠C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？[提示]因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝a2＋b2－c22ab＝0，即cosC＝0，所以∠C＝π2，反之，若∠C＝π2，则cosC＝0，即a2＋b2－c22ab＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a－c·cosB)sinB＝(b－c·cosA)sinA，判断△ABC的形状．[思路探究]角边转化．[解]法一：∵(a－c·cosB)sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由正、余弦定理可得：a－c·a2＋c2－b22ac·b＝b－c·b2＋c2－a22bc·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b．故△ABC为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA．∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A．∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝π2.故△ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．1．法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．2．一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．3．在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为________．等边三角形[∵2∠B＝∠A＋∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°.又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0，∴a＝c，可知△ABC为等边三角形．]1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．2．本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．(2)已知三边解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状．3．本节课的易错点有两处：(1)正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．()(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．()(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题．()(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．()[解析](1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形C[∵2cosBsinA＝sinC，∴2×a2＋c2－b22ac×a＝c，∴a＝b．故△ABC为等腰三角形．]3．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c＝________.219[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.]4．在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，c＝4(3＋1)，解此三角形．[解]由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b＝46.法一：由cosA＝b2＋c2－a22bc＝96＋163＋12－642×46×43＋1＝22，∵0°∠A180°，∴∠A＝45°.故∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理asinA＝bsinB，∴8sinA＝46sin60°，∴sinA＝22，∵ba，ca，∴a最小，即∠A为锐角．因此∠A＝45°.故∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－60°＝75°.