2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例（第2课时）角度问题学案 新人教B

第2课时角度问题学习目标核心素养1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题．(重点)2．会将实际问题转化为解三角形问题．(难点)3．能根据题意画出几何图形．(易错点)1.通过运用正、余弦定理解角度问题，提升学生的数学运算的素养．2．借助将实际问题转化为解三角形问题，培养学生的数学建模的素养.1．方位角从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．方位角的取值范围：0°～360°.2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.1．某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西55°33′A[如图所示．]2．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°B[如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即北偏西10°.]3．某人从A处出发、沿北偏西60°行走23km到达B处，再沿正东方向行走2km到达C处，则A、C两地的距离为________km.2[如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝23，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×23×2×32＝4，AC＝2，所以A、C两地的距离为2km.]角度问题【例1】(1)如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°(2)有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为23m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()A．33，60°B．3，60°C．3，30°D．33，30°[思路探究](1)两座灯塔A，B与观察站C的距离相等，说明∠A与∠B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东60°，说明∠CBD是多少度？(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义．(1)D(2)B[(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.(2)如图所示，横截面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝23m，则AE＝AB－CD2＝2m，∴tan∠DAE＝DEAE＝232＝3，∴∠DAE＝60°.]测量角度问题画示意图的基本步骤：1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.60°203[如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝203，∠COY＝30°＋30°＝60°.]求航向的角度【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．[思路探究]本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．[解]如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×12，即360t2－90t－100＝0，解得t＝23或t＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin120°，所以sin∠CAB＝6×3214＝3314，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h才能靠近渔轮．1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、余弦定理皆可．2．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？[解]设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为3v海里/时，用时为th.由题意得BC＝vt，AC＝3vt，∠ABC＝120°.∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt，∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－a2(舍去)或vt＝a，∴BC＝a海里．在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°.故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a海里.求解速度问题[探究问题]1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4km，从B到C，方位角是80°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是6km，试画出示意图．[提示]如图所示：2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？[提示]如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos150°＝80＋323，则此人的最小速度为v＝80＋32312＝85＋23(km/h)．3．在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以167km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？[提示]投递员到达C点的时间为t1＝4＋824＝12(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝85＋23167≈0.55小时＝33分钟；由于3033＋10，所以此人在C点不能与投递员相遇．【例3】如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？[思路探究]根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．[解]作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝45.设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×45，即v2＝25t2－400t＋2500＝251t－82＋900≥900，∴当t＝18时，v取得最小值为30，∴其行驶距离为vt＝308＝154(公里)．故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154公里．解决实际问题应注意的问题：(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．3．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为()A．8(6＋2)海里/时B．8(6－2)海里/时C．16(6＋2)海里/时D．16(6－2)海里/时D[如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得SAsin105°＝ABsin45°，即82sin105°＝ABsin45°，得AB＝8(6－2)海里，因此该船的航行速度为86－212＝16(6－2)(海里/时)．]1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．()(2)如图所示，该角可以说成北偏东110°.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，π2.()(4)若点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且AC＝BC，则点A在点B北偏西15°方向．()[解析](1)×.若P在Q的北偏东44°，则Q应在P的南偏西44°.(2)×.本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.(3)×.因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围为0°～360°.(4)√.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2hB[设台风中心移动th，城市B处在危险区，则(20t)2＋402－2×20t×40×cos45°≤900，解得2－12≤t≤2＋12，所以B城市处在危险区的时间为1h．]3．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A．d1d2B．d1d2C．d120mD．d220mB[根据题意，可得tan50°＝20d1，tan40°＝20d2，又因为tan50°tan40°，所以d1d2.故选B．]4．如图所示，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．[解]因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°＝402＋402－2×40×40×－12＝402×3，所以BP＝403.又∠PBC＝90°，BC＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(403)2＋802＝11200，所以PC＝407海里．