2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图学案 新人教B版必修2

1.1.4投影与直观图学习目标核心素养1.了解投影的概念．(重点)2．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)3．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点)4．逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)1.通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的数学核心素养．2．借助斜二测画法，找出直观图，培养数学抽象的核心素养.1．平行投影(1)投影①定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．②投射线：光线．③投射面：留下影子的屏幕．(2)平行投影当投射光线为一束平行线时，该投影称为平行投影．(3)平行投影的性质①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．2．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．1．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3cm，平行于y轴的边长为1.5cm.]2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形B[由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．②⑤[线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]画平面图形的直观图【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[思路探究]按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图所示．[解]画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．①(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.②(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．画空间几何体的直观图【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[思路探究]画轴→画底面→画顶点→成图[解]画法：(1)画轴：①②画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.(2)画底面：以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示．直观图的还原和计算问题[探究问题]1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？[提示]根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC2＋BC2＝10.3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？[提示]原三角形面积为S＝12a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝12h·sin45°＝24h，S′＝12a′·h′＝12a·24h＝24×12a·h＝24S.【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．[思路探究]由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形的形状是________．菱形[如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]1．由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．2．若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝24S.1．本节课的重点是了解中心投影与平行投影，难点是画几何体的直观图．2．本节课掌握的规律方法(1)判断几何体投影形状及画投影的方法．(2)画出空间几何体的直观图．(3)直观图的还原与计算．3．本节课的易错点是混淆中心投影和平行投影.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形D[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．22[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为22.]4．画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．[解](1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝12AO＝34cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．