2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

14.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课后拔高提能练一、选择题1．点P从(1,0)出发，沿单位圆(以坐标原点为圆心)逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q的坐标为()A．－12，32B．－32，－12C．－12，－32D．－32，12解析：选A2．已知P(3，y)在角α的终边上，且满足y0，cosα＝35，则sinα的值为()A．45B．－45C．－35D．35解析：选B由题意知332＋y2＝35，得y＝±4，又y0，∴y＝－4，∴sinα＝－432＋－42＝－45.3．设α是第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则角α2的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C∵α是第二象限角，∴2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4α2kπ＋π2，k∈Z，∴α2是第一或第三象限角．又|cosα2|＝－cosα2，∴cosα20，∴α2是第三象限角．24．给出以下命题：①存在函数f(x)，对于其定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数；②存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数；③周期函数的周期是唯一的；④周期函数f(x)的定义域可以为(a，b)，其中a，b均为实常数．其中正确的个数有()A．0B．1C．2D．3解析：选A由周期函数定义知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，故①错误；又T是非零实数，故②错误；若T为周期，则kT(k∈Z)也是周期，故③错误；由于T不为零，又当x属于f(x)的定义域时，x＋T，x＋2T，…，x＋kT(k∈Z)也属于定义域，故周期函数f(x)的定义域没有上、下界，只能是R，故④错误．二、填空题5．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则sinaπ6＝________.解析：∵(a,9)在y＝3x的图像上，∴3a＝9，a＝2.sinaπ6＝sinπ3＝32.答案：326．如图，动点从A(1,0)出发，逆时针旋转到P－33，－63，则以OP为终边的角α的余弦值为________．解析：由三角函数的定义可知cosα＝x＝－33.答案：－337．已知角α的终边经过点P(－3，y)(y≠0)，且sinα＝24y，则cosα＝________.3解析：r＝3＋y2，sinα＝yr＝24y，∵y≠0，∴y2＝5，∴r＝22，∴cosα＝xr＝－322＝－64.答案：－64三、解答题8．(1)已知角α的终边过点P(1,2)，求5sinα＋52cosα的值；(2)若角α的终边在直线y＝2x上，求sinα，cosα的值．解：(1)∵角α的终边上有一点P(1,2)，∴OP＝12＋22＝5，sinα＝25，cosα＝15，5sinα＋52cosα＝25·5＋52×15＝52.(2)在角α的终边上任取一点(a,2a)(a≠0)，则|OP|＝a2＋2a2＝5|a|.当a0时，sinα＝2a5|a|＝255，cosα＝a5|a|＝55；当a0时，sinα＝2a5|a|＝－255，cosα＝a5|a|＝－55.9．设θ为锐角，利用三角函数的定义证明：1sinθ＋cosθ≤2.证明：在角θ的终边上任取一点P(x，y)，则sinθ＝yx2＋y2，cosθ＝xx2＋y2，∵θ为锐角，∴x0，y0.于是sinθ＋cosθ＝x＋yx2＋y2＝x＋y2x2＋y2＝2－x－y2x2＋y2≤2.又∵sinθ＋cosθ＝x2＋y2＋2xyx2＋y2＝1＋2xyx2＋y21，∴1sinθ＋cosθ≤2.4