2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质 第2

1第二课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)课后拔高提能练一、选择题1．已知简谐振动y＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图像过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析：选A由题意得T＝2ππ3＝6，又图像过点(0,1)，∴2sinφ＝1，sinφ＝12，又|φ|π2，∴φ＝π6.2．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的部分图像如图所示，则ω等于()A．5B．4C．3D．2解析：选B由题图知，T＝2x0＋π4－x0＝π2，∴ω＝2πT＝4.3．(2018·天津卷)将函数y＝sin2x＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间3π4，5π4上单调递增B．在区间3π4，π上单调递减C．在区间5π4，3π2上单调递增D．在区间3π2，2π上单调递减2解析：选A由函数图像平移变换的性质可知，将y＝sin2x＋π5的图像向右平移π10个单位长度之后的解析式为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x.则函数的单调递增区间满足：2kπ－π2≤2x≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π4≤x≤kπ＋π4(k∈Z)，令k＝1可得一个单调递增区间为3π4，5π4.函数的单调递减区间满足：2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋32π(k∈Z)，即kπ＋π4≤x≤9kπ＋3π4(k∈Z)，令k＝1可得一个单调递减区间为5π4，7π4.故选A．4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图像关于x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：选Df(x)＝cosx＋π3的最小正周期为2π，∴f(x)的一个周期为2π，故A正确；当x＝8π3时，x＋π3＝3π，∴cosx＋π3＝－1，故B正确；f(x＋π)＝cosx＋4π3，当x＝π6时，x＋4π3＝3π2，∴f(x＋π)＝0，故C正确；函数f(x)＝cosx＋π3在π2，2π3上单调递减，在2π3，π上单调递增，故D不正确．二、填空题5．若函数f(x)＝3cos(2x＋φ)的图像关于4π3，0对称，则|φ|的最小值为________．解析：由题意得cos8π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ－π6(k∈Z)，∴|φ|min＝π6.答案：π66．函数y＝sinωx＋π4的图像相邻的两条对称轴之间的距离为π2，则ω＝________.3解析：由题意知T＝2π|ω|＝2×π2＝π，∴|ω|＝2，ω＝±2.答案：±27．关于f(x)＝3sin2x＋π4有以下说法：①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z)；②f(x)的图像与g(x)＝3cos2x－π4的图像相同；③f(x)在区间－7π8，－3π8上是减少的；④f(x)的图像关于点－π8，0对称．其中正确的是________．答案：②③④三、解答题8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0φπ2图像上某个最高点坐标为(2，2)，由此最高点到相邻的最低点间函数图像与x轴交于一点(6,0)．(1)求f(x)的解析式；(2)求使函数取最值时x的取值；(3)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得T＝4×(6－2)＝16＝2πω，所以ω＝π8，A＝2.将点(2，2)代入f(x)＝2sinπ8x＋φ，且0φπ2，解得φ＝π4，∴y＝2sinπx8＋π4.(2)当π8x＋π4＝2kπ＋π2，即x＝16k＋2时，ymax＝2，当π8x＋π4＝2kπ＋3π2，即x＝16k＋10时，ymin＝－2.(3)单调增区间为[16k－6,16k＋2](k∈Z)，单调减区间为[16k＋2，16k＋10](k∈Z)．9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解：由f(x)是偶函数且0≤φ≤π，∴φ＝π2，4又f(x)的图像关于点M对称，∴3π4·ω＝kπ＋π2，k∈Z，又ω0，∴ω＝23(2k＋1)，k＝0,1,2,3，…当k＝0时，ω＝23，f(x)＝sin23x＋π2在0，π2上递减．当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin2x＋π2，在0，π2上递减．当k≥2时，ω≥103，f(x)＝sinωx＋π2在0，π2上不单调．综上，ω＝23或ω＝2.