专题05三角形求角度模型之燕尾角备战2021中考数学解题方法系统训练

专题05:第2章三角形求角度模型之燕尾角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24°B．25°C．30°D．36°二、填空题2．如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．3．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__．4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．三、解答题6．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论．．．．．．，解决以下三个问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=__________°；②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．7．如图，ABC中，（1）若ABC、ACB的三等分线交于点1O、2O，请用A表示1BOC、2BOC；（2）若ABC、ACB的n等分线交于点1O、21nOO（1O、21nOO依次从下到上），请用A表示1BOC，1nBOC.8．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，62A，35ACD，20ABE，求BFD的度数.9．如图，AM、CM分别平分BAD和BCD，若42B，54D，求M的度数.10．如图，BG是ABD的平分线，CH是ACD的平分线，BG与CH交于点O，若150BDC，110BOC°，求A的度数.参考答案1．B【解析】【分析】【详解】∵∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠D1BC+∠D1CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)，∴∠1D=180°-12(180°-∠A)=12∠A+90°=100°，同理：∠2D=60°，∠3D=40°，∠4D=30°，∠5D=25°.故选B2．360°【解析】【分析】根据三角形的外角性质可得∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，再根据多边形的外角和定理即可求解．【详解】解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．故答案为：360°．【点评】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于360度，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的和转化为∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN的和是解题的关键．3．180°【解析】【分析】先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，∴∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，∵∠B＋∠CFB＋∠BGF＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．故答案为：180°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．4．360°【解析】【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．【详解】解：如图，连接FC，由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，故答案为360°．【点评】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．5．720°【解析】【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．【详解】解：如图：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，∠1＝∠H＋∠G＋∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D＝180°×（6－2）＝270°．故答案为：720°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，先求出∠1＝∠H＋∠G＋∠D，再求出多边形的内角和．6．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【解析】【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，进而可得答案．【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB∴∠DCE＝12(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝110(∠ABD+∠ACD)+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴110(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣110x+x＝77，∴x＝70，∴∠A为70°．故答案是：70．【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．7．（1）111203BOCA，22603BOCA；（2）111180nBOCAnn，111180nnBOCAnn.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和可得180ABCACBA，再根据ABC、ACB的三等分线交于点1O、2O，可得111(180),3OBCOCBA222(180),3OBCOCBA然后根据三角形内角和定理即可用含A表示1BOC、2BOC；（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.【详解】解：（1）∵180AABCACB，∴180ABCACBA，∵ABC、ACB的三等分线交于点1O、2O，∴111(180),3OBCOCBA222(180),3OBCOCBA∴11111180()180(180)12033BOCOBCOCBAA，22222180()180(180)6033BOCOBCOCBAA；（2）由（1）可知1111180(180)180nBOCAAnnn，1111180(180)180nnnBOCAAnnn.【点评】本题考查了三角形内角和定理及角的n等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.8．63BFD.【解析】【分析】根据三角形的外角性质先求出BDF的度数，再利用三角形内角和定理即可注出BFD的度数.【详解】解：在△ADC中，97BDFAACD，在在△BDF中，180180209763BFDABEBDF.【点评】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键.9．48M.【解析】【分析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；【详解】解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，∴∠M-∠B=∠D-∠M，∴∠M=12（∠B+∠D）=12（42°+54°）=48°；【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．10．70A.【解析】【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得，BDCBOCOBDOCD①BOCAABOACO②BG是ABD的平分线，GH是ACD的平分线ABOOBD，ACOOCD．①-②得，270ABOCBDC．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．