专题08全等三角线中的辅助线做法及常见题型之倍长中线备战2021中考数学解题方法系统训练

专题08：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线一、单选题1．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（）A．1＜AB＜11B．4＜AB＜13C．4＜AB＜16D．11＜AB＜162．在ABCF中，2BCAB，CDAB于点D，点E为AF的中点，若50ADE，则BÐ的度数是（）A．50B．60C．70D．803．如图，在平行四边形ABCD中，28CDAD，E为AD上一点，F为DC的中点，则下列结论中正确的是（）A．4BFB．2ABCABFC．EDBCEBD．2DEBCEFBSSV四边形4．如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（）A．3AD13B．1.5AD6.5C．2.5AD7.5D．10AD165．如图，在等腰直角三角形ABC中，90,8CAC，F为AB边的中点，点D，E分别在,ACBC边上运动，且保持ADCE，连接,,DEDFEF．在此运动变化的过程中，下列结论：①DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③ADBEDE．其中正确的是（）A．①②③B．①C．②D．①②二、填空题6．如图，平行四边形ABCD中，CEAD于E，点F为边AB中点，12ADCD，40CEF，则AFE_________7．如图，ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BEAC，且9BF，6CF，那么AF的长度为__．8．如图，901,2,ABCDBCDABBCCDE，，为AD上的中点，则BE＝______．9．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：23，则∠BCD＝_____．10．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB＝10，AD＝7，∠CAD＝45°，则BC＝_____.三、解答题11．如图，已知AD是ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．12．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．13．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至点E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．14．如图1，在RtABC中，90BAC，60ABC，43AB，M是BC边的中点，MNBC交AC于点N.将直角PMQ绕顶点M旋转，使得边MP与线段BA交于点P，边MQ与线段AC交于点Q.（1）求证：PBM与QNM相似；（2）设BP的长为x，RtAPQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）探究2BP、2PQ、2CQ三者之间的数量关系，并说明理由.15．如图1，已知正方形ABCD和等腰RtBEF，EFBE，90BEF，F是线段BC上一点，取DF中点G，连接EG、CG．（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰RtBEF绕点B顺时针旋转090，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若2AD，求2GEBF的最小值．参考答案1．C【解析】【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE，∵AD＝5，∴AE＝5＋5＝10，∵10＋6＝16，10−6＝4，∴4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．2．D【解析】【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，在△NAE和△CFE中，NAEFAEFEAENFEC，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝12NC＝NE，∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．3．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CDADBC，且F为DC的中点，所以4CFBC,由此可判断A选项；再结合平行线的性质可以得到CFBFBA，由此可判断B选项；同时延长EF和BC交于点P，,,DFCFDFEPFCDFCP可以证得DFECFP，所以EDBCCPBCBP,由此可以判断C选项；由于DFECFP，所以BEPDEBCSS四边形V，由此可以判断D选项；【详解】四边形ABCD是平行四边形228CDADBC4CFBC由于条件不足，所以无法证明4BF,故A选项错误；4CFBCCFBFBCDCAB∥CFBFBCFBA2ABCABF故B选项错误；同时延长EF和BC交于点PADBPDFCP在DFE△和CFP中：DFCFDFEPFCDFCPASADFECFPEDBCCPBCBP由于条件不足，并不能证明BPBE，故C选项错误；DFECFPBEPDEBCSS四边形VF为DC的中点2BEPBEFDEBCSSS四边形VV故D选项正确；故选：D.【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.4．B【解析】【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，CDBDADCBDEADDE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE．∵AB-BE＜AE＜AB+BE，∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．∵AB=8，AC=5，∴1.5＜AD＜6.5．故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．A【解析】【分析】连接CF，利用SAS可证ADFCEF≌，从而得出,DFFEAFDCFE，从而求出90EFD，即可判断①；根据全等三角形的性质可得ADFCEFSS，从而得出四边形CDFE的面积为12ABCS，从而判断②；延长DF到G使FGDF，连接,EGBG，证出ADBG和DEEG，最后根据三角形的三边关系即可判断③．【详解】解：如图，连接CF．∵ACBC，F为AB的中点，∴CFAB，12ACFBCFACB．∵90ACB，∴45AACFBCF，∴CFAF．又∵ADCE，∴ADFCEF≌．∴,DFFEAFDCFE，∵90AFDCFD，∴90CFECFD，∴90EFD，∴DEF是等腰直角三角形．①正确．∵ADFCEF≌，∴ADFCEFSS，∴四边形CDFE的面积为12CDFCEFCDFMDFAFCABCSSSSSS．∵11883222ABCSACBC，∴四边形CDFE的面积为16，为定值．②正确．延长DF到G使FGDF，连接,EGBG．∵AFBF，AFDBFG，DFFG，∴ADFBCF≌△△，∴ADBG．∵90EFD，∴EFDF，∴DEEG．在EBG中，∵BGBEEG，∴ADBEDE．③正确．①②③均正确，故选A．【点评】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．6．30°【解析】【分析】延长EF、CB交于点G，连接FC，先依据全等的判定和性质得到FEFG，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FCFEFG，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BFBC，依据三角形等边对等角得到50FCGG、50BFCFCG，依据三角形内角和得到GFC，通过作差即得所求.【详解】解：延长EF、CB交于点G，连接FC，∵平行四边形ABCD中，∴//ADBC，ABCD,ADBC,∴AGBF，AFEBFG，90GCECED,又∵点F为边AB中点，得12AFBABF,∴AFE△≌BFG(ASA)，0509CGEF，∴FEFG，∴FCFEFG，∴50FCGG,∴18080GFCFCGG,∵12BFAB,12ADCD,ABCD,ADBC,∴BFBC,∴50BFCFCG,∴30BFGGFCBFC,∴30BFGAFE,故答案为：30°.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.7．32；【解析】【分析】延长AD至G使ADDG，连接BG，得出ACDGBD,得出ACBGBE，所以得出AEF是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．【详解】如图：延长AD至G使ADDG，连接BG在ACD和GBD中：CDBDADCBDGADDG∴ACDGBD∴,CADGACBG∵BEAC∴BEBG∴GBEG∵BEGAEF∴AEFEAF∴EFAF∴AFCFBFEF即69AFEF∴32AF【点评】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．8．52【解析】【分析】延长BE交CD于点F，证ABEDFEVV≌，则BE=EF=12BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.【详解】解：延长BE交CD于点F,∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E为AD上的中点，∴BE=EF,所以ABEDFEVV≌.∴1,12BEEFBFABDF∴1CF在直角三角形BCF中，BF=2212=5.∴1522BEBF.【点评】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.