专题11全等三角线中的辅助线做法及常见题型之过端点向中线做垂线备战2021中考数学解题方法系统训练

专题11：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之过端点向中线作垂线一、解答题1．如图，D是CB延长线上一点，且BDBC，E是AB上一点，DEAC，求证：BACBED.2．如图，在ABC中，90ACB，90ABDCBE，BABD，BCBE，延长CB交DE于F.求证：EFDF.3．如图，AD是ABC的中线，BEAD于E.CFAD于F，（1）求证：2ABACAD；（2）若3AF，5AE，求AD的长．4．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．参考答案1．详见解析【解析】【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建RtDFE与tRCGA，证其全等即可求得答案.【详解】如图，过点C作CGAB于点G，过点D作DFAB的延长线于点F，则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，∴DBFCBG≌，∴DF=CG，.又DEAC，∴RtDFE≌tRCGA，BACBED.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.2．详见解析【解析】【分析】如图，过点D作DGCF的延长线于点G，易证ABCBDG≌，再证BFEGFD≌即可得答案.【详解】如图，过点D作DGCF的延长线于点G，90ABCDBG，90BDGDGB，ABCBDG，又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，∴ABCBDG≌，BCDG，又∵BC=BE，BEDG，又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，∴BFEGFD≌△，∴EF=DF.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.3．（1）详见解析；（2）4AD【解析】【分析】先证明DE=DF；(1)在ABE中，由垂线段最短可得ABAE，即ABADDE，①，在ACF中，同理可得ACAF，即ACADDF，②，①+②整理后即可得结论；(2)ADAFDF，ADAEDE，可得2ADAEAF，继而可得答案.【详解】∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，又∠BDE＝CDF∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE=DF；(1)在ABE中，ABAE，即ABADDE，①在ACF中，ACAF，即ACADDF，②①+②得，ABACADDEADDF，即2ABACAD；(2)ADAFDF，①，ADAEDE，②①+②得，28ADAEAF，4AD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，正确运用数形结合思想是解题的关键.4．证明见解析【解析】【分析】方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．方法二：向中线作垂线，证明BDGCDH，得到BGCH，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明BGFCHA，最终得到结论.【详解】方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC方法二：如图，分别过点B、C作BGAD，CHAD，垂足为G、H，则90BGDCHD.BDCD，BDGCDH，BDGCDH，BGCH.AEFE，EAFEFA，BFGEFA，BFGCAH，又90BGFCHA，BGFCHA，BFAC.【点睛】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.