专题21第4章解三角形之一字型备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

21第4章解三角形之一字型学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．303海里B．(30303)海里C．120海里D．60海里【答案】B【解析】【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ACD=30°，∠BCD=45°，在Rt△ACD中，AD=12CA=12×60=30（海里），CD=CA·cos∠ACD=60×32=303（海里），∵∠BCD=45°，∠BDC=90°，∴在Rt△BCD中，BD=CD，∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+303）海里，故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．2．如图，港口A在观测站O的正东方向，2OAkm，某船西东从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．2kmB．3kmC．2kmD．31km【答案】C【解析】【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=12OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=2AD=22．【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2，∴AD=12OA=1．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=1，∴AB=2AD=2．即该船航行的距离（即AB的长）为2km．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．3．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A．160米B．（60+1603）C．1603米D．360米【答案】C【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长.【详解】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD∙tan30°＝120×33＝403m；在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD∙tan60°＝120×3＝1203m.∴BC＝BD＋DC＝40312031603＋＝m.故选C.【点睛】本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.4．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（）A．100(tanα+tanβ)mB．100(sinα+sinβ)mC．100100msinαsinβD．100100mtanαtanβ【答案】A【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，利用解直角三角形分别求出BH，CH的长，再根据BC=BH+CH，代入计算可求出BC的长.【详解】过点A作AH⊥BC于点H，∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△ABH中，BH=AHtan∠BAH=100tanα；在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=100tanβ；∴BC=BH+CH=100tanα+100tanβ=100（tanα+tanβ）m.故选：A.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确确定直角三角形是解题的关键.二、填空题5．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为________海里．【答案】202【解析】【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．【详解】如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=102(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=202(海里)故答案为：202．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．6．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________nmile．（结果保留一位小数，31.73）【答案】20.8【解析】【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．【详解】解：过P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24×32=123≈20.8.故答案为：20.8.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．7．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）【答案】23【解析】【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案．【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×32=23，故答案为：23．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键．8．某拦水坝的横截面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为，且34tan，背水坡AD的坡度为2:5i是指坡面的铅直高度AE与水平宽度DE的比，坝面宽3ABm，坝高12,AEm则坝底宽CD__________．【答案】49m【解析】【分析】添一条辅助线，作BFCD，AE=12m，根据3tan=4，可得CF的长，根据背水坡AD的坡度2:5i，可得DE的长，且AB=EF，坝底CD=DE+EF+FC，可得出答案．【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BFCD，∵AE=12m，且3tan=4，而BFtan=CF，∴BFAECF===16tantanm，又∵背水坡AD的坡度2:5i，∴AE2=DE5，故DE=30m，且EF=AB=3m，坝底CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m，故答案为：49m．【点睛】本题主要考察了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边∶斜边，掌握定义就不会算错．9．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为__海里（精确到1海里，参考数据2≈1.414，3≈1.732）．【答案】38．【解析】【分析】作CD⊥AB于点D，再求得AB、∠ACD、∠BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD的长即可解答．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，在Rt△ACD中，CD＝AD，在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，∴tan30°＝BDCD，即33＝60CDCD，解得CD≈38（海里）．答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．故答案为38．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．10．如图所示，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25方向上，则灯塔C与码头B的距离是______海里(结果精确到个位，参考数据：21.4，31.7，012200111:(,),()323xpxx)【答案】24【解析】【分析】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．【详解】∠CBA=25°+50°=75°，作BD⊥AC于点D，则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，∠ABD=30°，∴∠CBD=75°﹣30°=45°，在直角△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20×32=103，在直角△BCD中，∠CBD=45°，则BC=2BD=103×2=106≈10×2.4=24（海里），故答案是：24．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得∠CBD以及∠CAB的度数是解决本题的关键．三、解答题11．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（31.73，结果精确到0.1米）【答案】33.1米【解析】【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．【详解】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°∴AF=DF=21米在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°∴EF=DF×tan30°=73米∴AE=AF+BF=73+21≈33.1米．答：条幅的长AE约是33.1米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．12．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度，已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离183AC米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30°，底部C点的俯角是45，求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）．【答案】18(3+1)m【解析】【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．【详解】如图，依题意可得∠BCA=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CE=183AC∵∠DBE=30°∴DE=BE×tan30°=18∴CD的高度为CE+ED=18(3+1)m．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．13．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°(如图)则A，B两个村庄间的距离是多少米．(结果保留根号)．【答案】A，B两个村庄间的距离3003米．【解析】【分析】根据两个俯角的度数可知ABP是等腰三角形，AB＝BP，在直角△PBC中，根据三角函数就可求得BP的长．【详解】解：过P作AB的垂线，垂足是C，由题意得：∠A＝∠APQ＝30°，∠PBC＝∠BPQ＝60°，∴∠APB＝60°﹣30°，∴∠APB＝∠A，∴AB＝PB．在RtBCP中，∠C＝90°，∠PBC＝60°，PC＝450米，∴PB＝450sin60＝45032＝3003∴AB＝PB＝3003．答：A，B两个村庄间的距离3003米．【点睛