专题33第6章四边形之与正方形有关的其他题型备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

33第6章四边形之与正方形有关的其他题型一、单选题1．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，连接AE与对角线BD相交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H．以下结论：①CDEBAE；②CFDE；③AFBF；④22CECHCF．其中正确结论的个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】证明△ABE≌△DCE，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得结论②；证明△DCE≌△CBF可得结论③，证明△CHF∽△CBF即可得结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，∴△ABE≌△DCE（SAS）∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴∠BAE=∠BCF，∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，∴∠BCF+∠CED=90°，∴∠CHE=90°，∴CF⊥DE，故②正确，∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴CE=BF，∵CE=12BC=12AB，∴BF=12AB，∴AF=BF，故③正确，∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC∴∠BCF+∠DECC=90°，∴∠CHE=90°∴∠CHE=∠FBC又∠DEC=∠BFC∴△CHF∽△CBF∴CHCEBCCF∵BC=2CE，∴2BCCECECECHCFCF∴22CECHCF故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．2．如图，正方期ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且22.5,BAEEFAB为F，则EF的长为（）A．2B．2C．22D．422【答案】D【分析】在AF上取FG=EF，连接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EG=2EF，∠EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可．【详解】解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，∵EF⊥AB，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=2EF，∠EGF=45°，由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，∴∠BAE=∠AEG=22.5°，∴AG=EG，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=EF，设EF=x，∵AB=AG+FG+BF，∴4=2x+x+x，解得x=422故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形并根据正方形的边长AB列出方程．3．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDB＝45°；④S△BEF＝725．在以上4个结论中，正确的有（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】试题解析：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=12×6×8=24，S△BEF=EFEGS△GBE=62410=725，④正确．故选C．考点：正方形综合题.4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE//CD于点E，PF//BC于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD2EC；②四边形PECF的周长为8；③APD一定是等腰三角形；④APEF；⑤EF的最小值为22.其中正确结论的序号为()A．①②④⑤B．①③④⑤C．②④⑤D．②③⑤【答案】A【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得PDF是等腰直角三角形，在RtDPF中，2222222DPDFPFECECEC，求得2DPEC；②根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断APD△不一定是等腰三角形；④由PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明APEF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于22．【详解】①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形PECF为矩形，∴PF=CE，∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°∴∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC=DF，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴DP=2EC．故①正确；②∵四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45，∴当∠PAD=45或67.5或90时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误；④∵四边形PECF为矩形，∴PC=EF，由正方形为轴对称图形，∴AP=PC，∴AP=EF，故④正确；⑤BD=22224442BCCD，由EF=PC，∴当PC最小时，EF最小，则当PC⊥BD时，即PC=12BD=142222时，EF的最小值等于22，故⑤正确；综上所述，①②④⑤正确，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．5．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF给出结论：①DEEF；②45CDF；③75AMDF；④若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值2．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【分析】①延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角形的性质可得AE＝EF＝EH，即可判断；②由四边形内角和定理可求2∠ADE＋2∠EDF＝270°，可得∠ADF＝135°，即可判断；③由连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，由梯形中位线定理可求PE＝12（AM＋CD），由“AAS”可证△APE≌△ENF，可得AP＝NE＝12AD，即可求AM＝2DG＝2×DF2＝2DF，即可判断；④由垂线段最短，可得当CF⊥DF时，CF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF的最小值，即可判断．【详解】①如图，延长AE交DC的延长线于点H，∵点E是CM的中点，∴ME＝EC，∵AB∥CD，∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE＝EH，又∵∠ADH＝90°，∴DE＝AE＝EH，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴AE＝DE＝EF，故①正确；②∵AE＝DE＝EF，∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，∵∠AEF＋∠DAE＋∠ADE＋∠EDF＋∠EFD＝360°，∴2∠ADE＋2∠EDF＝270°，∴∠ADF＝135°，∴∠CDF＝∠ADF−∠ADC＝135°−90°＝45°，故②正确；③∵EP⊥AD，AM⊥AD，CD⊥AD，∴AM∥PE∥CD，∴APME=PDEC＝1，∴AP＝PD，∴PE是梯形AMCD的中位线，∴PE＝12（AM＋CD），∵∠FDC＝45°，FN⊥CD，∴∠DFG＝∠FDC＝45°，∴DG＝GF，DF＝2DG，∵∠AEP＋∠FEN＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠FEN＝∠EAP，又∵AE＝EF，∠APE＝∠ENF＝90°，∴△APE≌△ENF（AAS），∴AP＝NE＝12AD，∵PE＝12（AM＋CD）＝NE＋NP＝12AD＋NP，∴12AM＝NP＝DG，∴AM＝2DG＝2×DF2＝2DF，∴AMDF＝2，故③错误；④如图，连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，∵EP⊥AD，FN⊥EP，∠ADC＝90°，∴四边形PDGN是矩形，∴PN＝DG，∠DGN＝90°，∵∠CDF＝45°，∴点F在DF上运动，∴当CF⊥DF时，CF有最小值，∵CD＝2，∠CDF＝45°，∴CF的最小值＝22＝2，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM：S△DEC＝1：4．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据正方形性质得出ADBCDC；12ECDFBC；ADFDCE，证ADF≌DCESAS，推出AFDDEC，求出90DGF即可判断①；证明四边形GBED为平行四边形，则可知②正确；由平行线的性质可得③正确；证明AGM∽AFD，可得出AGMS：1DECS：5.则④不正确．【详解】解：∵正方形ABCD，E，F均为中点∴AD＝BC＝DC，EC＝DF＝12BC，∵在△ADF和△DCE中，ADDCADFDCEDFCE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∵∠DEC+∠CDE＝90°，∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，∴AF⊥DE，故①正确，∵//BGDE，//GDBE，∴四边形GBED为平行四边形，∴GD＝BE，∵BE＝12BC，∴GD＝12AD，即G是AD的中点，故②正确，∵//BGDE，∴∠GBP＝∠BPE，故③正确．∵//BGDG，AF⊥DE，∴AF⊥BG，∴∠ANG＝∠ADF＝90°，∵∠GAM＝∠FAD，∴△AGM∽△AFD，设AG＝a，则AD＝2a，AF＝5a，∴21()5AGMAFDSAGSAF．∵△ADF≌△DCE，∴S△AGM：S△DEC＝1：5．故④错误．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定与和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的点，且CE=2BE，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于点F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°；②AP=FP；③AE=1510AO；④若四边形OPEQ的面积为2，则该正方形的面积为36；⑤CE·EF=EQ·DE．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析