专题54第12章压轴题之猜想证明类备战2021中考数学解题方法系统训练学生版

54第12章压轴题之猜想证明类一、单选题1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，点D，E关于CB对称，连接EB并延长，与AD的延长线交于点F，连接DE，CE．对于以下结论：①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．其中正确的是()A．①④B．②③C．①③D．②④2．如图，过ABCD的对角线BD上一点K作//,//,MINBCPQABMN分别交,ABCD于点.,MNPQ分别交,ADBC于点,PQ，那么图中四边形QCNK的面积1S与四边形AMKP的面积2S的大小关系是（）A．1SSB．12SS=C．12SSD．不能确定3．已知ABC的三条边长分别为6，8，12，过ABC任一顶点画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条4．如图，在ABC中，ABAC，90BAC，直角EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AECF；②EPF是等腰直角三角形；③12ABCAEPFSS四边形；④EFAP．上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在ABC中，90ACB，5,3ABBC，P是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在直线翻折，得到BCP，连接BA，则下面结论错误的是（）A．当APBP时，//ABCPB．当APBP时，∠2BPCBACC．当CPAB时，175APD．BA长度的最小值是16．如图，ABC中，90A，D是AC上一点，且2ADBC，P是BC上任一点，PEBD于点E，PFAC于点F，下列结论：①DBC是等腰三角形；②30C；③PEPFAB；④222PEAFBP，其中正确的结论是（）A．①②B．①③④C．①④D．①②③④7．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2，，根据这个规律，第2019个整点的坐标为（）A．45,6B．45,13C．45,22D．45,08．如图，已知：在等腰RtABC△中，90BAC，BE平分ABC，交AC于F，且CEBE于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接DE，则下列结论正确的是（）①AGAF；②DEAB∥；③2BFCE；④ABAFBC；⑤2BGCEA．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．②③④⑤9．如图，在ABC中，90BAC，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①ABE△的面积BCE△的面积；②AFGAGF；③2FAGACF；④BHCH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③10．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作线段EF，使点E点F分别在边AD，BC上（不与四边形ABCD顶点重合），连结EB，EC设ED＝kAE，下列结论：①若k＝1，则BE＝CE；②若k＝2，则△EFC与△OBE面积相等：③若△ABE≌△FEC，则EF⊥BD．其中正确的是（）A．①B．②C．③D．②③二、填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__．12．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝8，则MN＝_____．13．如图，在ABC中，AD平分BAC，ABAD，12，BE与AD的延长线交于E，连接EC．过A作AFEC于F，交BC于G．下列结论：①AEBACB；②BECD；③AGCS2AGEF△；④223中，其中正确的有______（填序号）．14．如图，矩形ABCD中，5,3,ABBC点E在边AD上(不与,AD重合)，将矩形沿CE折叠，使点,AB分别落在点,FG处有下列结论：①FED与GCD互余；②若CD平分,ECG则53tanBCE③若直线FG经过点,D则45AEED④若直线FG交边,ADCD分别于,,MN当DMN为等腰三角形时，五边形ABCNM的周长为112．其中正确结论的序号是_____________________．15．已知点,Aab是反比例函数80yxx图象上的动点，ABx轴，ACy∥轴，分别交反比例函数0kyxx的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且3ACCD，连接BC.现有以下四个结论：①2k；②在点A运动过程中，ABC的面积始终不变；③连接DE，则BCDE；④不存在点A，使得ABCOED∽.其中正确的结论的序号是__________．三、解答题16．已知ABC在平面直角坐标系内的位置如图，ACB90，ACBC5，OA、OC的长满足关系式2OA4OC30．（1）求OA、OC的长；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，在ABC中，ABAC，150BACo，点D在边BC上，将ABD△沿 AD折叠，点B的对应点为点F，点G在边BC上，将ACG沿 AG折叠，点C的对应点也为点F．（1）DFG的度数为______．（2）设BAD，当为何值时， DFG△为等腰三角形？（3）  DFG△能否为直角三角形？若能，请求出相应的值：若不能，请说明理由．18．问题提出：（1）同一平面内的两条线段AB和BC，已知3AB，2BC，则线段AC最大值是______；最小值是______．问题探究：（2）如图，四边形ABCD中，4AB，2AD，CBCD，且60BCD，问AC是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（自行作图并解决）（3）在ABE△中，3AE，6BE，以AB为一边作正方形ABCD，连接CE，问CE是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相应最值；若不存在，请说明理由．19．（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若10AB，6AC．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DEAD，再连接BE（或将ACD△绕着点D逆时针旋转180得到EBD△），把AB，AC，2AD集中在ABE△中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；（2）问题解决：如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，180BD，CBCD，140BCD，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．20．八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目．如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且EDEC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答（1）特殊情况入手探索：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE_______DB（填“”，“”或“”）（2）一般情况进行论证：对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与EBD全等来证明．以下是他们的部分证明过程：证明：如图2，过点E作//EFBC，交AC于点F．（请完成余下的证明过程）图2（3）应用结论解决问题：在边长为3的等边三角形ABC中，点E在直线AB上，且1AE，点D在直线BC上，EDEC．则CD_______（直接写出结果）21．（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB_______PC（填“”“”或“=”）；（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则ABDADCSABSAC，请帮小明说明原因．（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？22．如图，钝角ABC中，ABAC，D为上AC一点，60ADB，E为BD上一点，30BCE．（1）作AFBC于F，BGCE交CE的延长线于G．①判断BF与BG的大小关系，并说明理由．②求证BFABGE≌△△；（2）若7BE，1DE，求CE的长．23．在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高．问题发现：（1）如图1，若∠ACB=90°，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，我们会发现CD，BE，BF之间的数量关系是CD=12(BE+BF)，请你证明这个结论；提出猜想：（2）如图2，若∠ACB=60°，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60º，得到线段CF，连接BF，猜想线段CD，BE，BF之间的数量关系是；拓广探索：（3）若∠ACB=α，CD=k·AB(k为常数)，点E是线段AB上一个动点(点E不与点A，B重合)，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转α，得到线段CF，连接BF，请你利用上述条件，根据前面的解答过程得出类似的猜想，并在图3中画出图形，标明字母，不必解答．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF＝2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．25．已知AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝α（0°＜α≤90°）．（1）观察猜想如图1，当α＝90°时，请直接写出线段CD与BE的数量关系：，位置关系：；（2）类比探究如图2，已知α＝60°，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，写出GM与FH的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）解决问题如图，已知：AB＝2，AD＝3，F，G，H，M分别是CE，CB，BD，DE的中点，将△ABC绕点A旋转，直接写出四边形FGHM的面积S的范围（用含α的三角函数式子表示）．