九年级数学上册222二次函数与一元二次方程同步测试新人教版

二次函数与一元二次方程1．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是(D)A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是(0，3)D．顶点坐标是(1，－2)【解析】A项，∵Δ＝22－4×(－1)×(－3)＝－8＜0，∴抛物线与x轴无交点，本选项错误；B项，∵二次项系数－1＜0，∴抛物线开口向下，本选项错误；C项，当x＝0时，y＝－3，∴抛物线与y轴交点坐标为(0，－3)，本选项错误；D项，∵y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，∴抛物线顶点坐标为(1，－2)，本选项正确．故选D.2．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是(A)A．3B．2C．1D．0【解析】抛物线解析式y＝－3x2－x＋4中，令x＝0，得y＝4，∴抛物线与y轴的交点为(0，4)；令y＝0，得到－3x2－x＋4＝0，即3x2＋x－4＝0，解得x1＝－43，x2＝1，∴抛物线与x轴的交点分别为－43，0，(1，0)．综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3.3．[2012·资阳]如图22－2－1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是(D)A．－1＜x＜5B．x＞5C．x＜－1且x＞5D．x＜－1或x＞5【解析】由图象得：抛物线的对称轴是x＝2，抛物线与x轴的一个交点的坐标为(5，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．利用图象可知：ax2＋bx＋c＜0的解集即是y＜0的解集，即x＜－1或x＞5.图22－2－1图22－2－24．某涵洞的形状是抛物线形，解析式为y＝－x2，它的截面如图22－2－2所示，现测得涵洞的顶点O到水面的距离为9m，则水面宽AB为(B)A．3mB．6mC．9mD．18m【解析】设B点的横坐标为x0，根据题意得－x02＝－9，x02＝9，x0＝3，所以AB＝2x0＝6.5．[2013·济宁]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22－2－3所示，则下列结论中正确的是(B)图22－2－3A．a0B．当－1x3时，y0C．c0D．当x≥1时，y随x的增大而增大6．已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，则抛物线与x轴的另一交点的坐标是(B)A．(－2，0)B．(－3，0)C．(－4，0)D．(－5，0)【解析】设抛物线与x轴的另一个交点为B(b，0)，∵抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，∴1＋b2＝－1，解得b＝－3，∴B(－3，0)．7．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图22－2－4所示，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝__－1__．图22－2－4【解析】根据二次函数图象的对称性知图象与x轴的另一个交点为(－1，0)，则另一个解x2＝－1.8．如图22－2－5，已知二次函数y＝－14x2＋32x＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，则点A的坐标为__(0，4)__，点C的坐标为__(8，0)__．【解析】令y＝0，则－14x2＋32x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，所以点C的坐标为(8，0)；令x＝0，得y＝4，所以点A的坐标为(0，4)．图22－2－5图22－2－69．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－6所示，则(1)这个二次函数的解析式为__y＝x2－2x__；(2)当x＝__－1或3__时，y＝3；(3)根据图象回答：当__x＜0或x＞2__时，y＞0；当0＜x＜2时，y＜0.【解析】设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1，∵图象过(0，0)点，∴0＝a(0－1)2－1，∴a＝1，∴y＝(x－1)2－1，即y＝x2－2x.令y＝3，得x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以当x＝－1或3时，y＝3.观察图象可得y＞0和y＜0时对应的x的取值范围．10．如图22－2－7，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，且与y轴交于点D(0，3)，求该抛物线的解析式．图22－2－7解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)．∵抛物线与y轴交于点D(0，3)，∴把D点坐标代入y＝a(x－1)(x－3)得a＝1，∴y＝x2－4x＋3.11．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(B)A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3【解析】∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是x＝32.又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－8所示，则下列关系式错误的是(D)图22－2－8A．a＞0B．c＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＞0【解析】A．∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确；B．∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，正确；C．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，正确；D．把x＝1代入抛物线的解析式得：y＝a＋b＋c＜0，错误，故选D.13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－9所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0，②2a＋b＝0，③b2－4ac＜0，④4a＋2b＋c＞0其中正确的是(C)图22－2－9A．①③B．只有②C．②④D．③④【解析】∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵－b2a＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，即2a＋b＝0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x＝1，∴x＝2与x＝0时的函数值相等，而x＝0时对应的函数值为正数，∴4a＋2b＋c＞0，④正确；则其中正确的有②④.14.若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是__0或1__．【解析】(1)若m＝0，则函数y＝2x＋1，是一次函数，与x轴只有一个交点；(2)若m≠0，则函数y＝mx2＋2x＋1，是二次函数．根据题意得Δ＝4－4m＝0，解得m＝1.图22－2－1015．如图22－2－10，二次函数y＝12x2－x＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)若A(－4，0)，求二次函数的解析式；(2)在(1)的条件下，求四边形AMBM′的面积．解：(1)∵点A(－4，0)在二次函数y＝12x2－x＋c的图象上，∴0＝12×(－4)2－(－4)＋c，解得c＝－12，∴二次函数的关系式为y＝12x2－x－12.(2)由(1)知y＝12x2－x－12，∴－b2a＝－－12×12＝1.当x＝1时，y＝12×12－1－12＝－252，∴M1，－252.令y＝0，得12x2－x－12＝0，解得x1＝－4，x2＝6，∴B(6，0)，AB＝||－4－6＝10.又∵点M′与点M关于x轴对称，∴S四边形AMBM′＝12×AB×－252×2＝125.16．已知：一元二次方程12x2＋kx＋k－12＝0(1)求证：不论k为何实数，此方程总有两个实数根；(2)设k0，当二次函数y＝12x2＋kx＋k－12的图象与x轴的两个交点A，B间的距离为4时，求出此二次函数的解析式．解：(1)证明：∵Δ＝k2－4·12(k－12)＝k2－2k＋1＝(k－1)2不论k为何实数，(k－1)2≥0∴不论k为何实数，此方程总有两个实数根；(2)∵二次函数y＝12x2＋kx＋k－12的图象与x轴的两个交点A，B间的距离为4.∴2（k－1）2＝4，∴(k－1)2＝4解得k1＝3，k2＝－1又∵k0∴k＝－1.∴y＝12x2－x－3217．已知二次函数y＝k(x＋1)x－3k与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是(C)A．2B．3C．4D．5【解析】y＝k(x＋1)x－3k＝(x＋1)(kx－3)，所以抛物线经过点A(－1，0)，B3k，0，C(0，－3)，所以AC＝OA2＋OC2＝12＋32＝10.①当k0，点B在x轴的正半轴时，若AC＝BC，则3k2＋32＝10，解得k＝3；若AC＝AB，则3k＋1＝10，解得k＝310－1；若AB＝BC，则3k＋1＝3k2＋32，解得k＝34.②当k0，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左侧，只可能有AC＝AB，则－1－3k＝10，解得k＝－310＋1，所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条，故选C.