九年级数学下册第26章二次函数262二次函数的图象与性质3求二次函数的表达式教案新版华东师大版

13．求二次函数的表达式会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．重点已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2，y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点．难点已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点．一、创设情境，引入新课一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数y＝kx(k≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的关系式，又需要几个条件呢？二、思考探究，获取新知例1某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y＝ax2(a＜0)．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解由题意，得点B的坐标为(0.8，－2.4)，又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y＝ax2(a＜0)，得－2.4＝a×0.82，所以a＝－154.因此，函数关系式是y＝－154x2.例2根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．(1)已知二次函数的图象经过点A(0，－1)，B(1，0)，C(－1，2)；(2)已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)；(3)已知抛物线与x轴交于点(－3，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，－3)；(4)已知抛物线的顶点为(3，－2)，且与x轴两交点间的距离为4.分析(1)根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式；(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为y＝a(x＋3)(x－5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3，－2)，可设函数关系式为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为直线x＝3，2再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为(1，0)和(5，0)，任选一个代入y＝a(x－3)2－2，即可求出a的值．解(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过(0，－1)，可以得到c＝－1.又由于其图象过点(1，0)，(－1，2)两点，可以得到a＋b＝1，a－b＝3，解这个方程组，得a＝2，b＝－1.所以，所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－1.(2)因为抛物线的顶点为(1，－3)，所以设二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到1＝a(0－1)2－3，解得a＝4.所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3＝4x2－8x＋1.(3)因为抛物线与x轴交于点(－3，0)，(5，0)，所以设二次函数的关系式为y＝a(x＋3)(x－5)，又由于抛物线与y轴交于点(0，－3)，可以得到－3＝a(0＋3)(0－5)．解得a＝15.所以，所求二次函数的关系式是y＝15(x＋3)(x－5)＝15x2－25x－3.(4)根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点时可利用此式来求．三、练习巩固1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，12)，B(2，－3)．(1)求该二次函数的关系式；(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．2．已知二次函数的图象与一次函数y＝4x－8的图象有两个公共点P(2，m)，Q(n，－8)，如果抛物线的对称轴是直线x＝－1，求该二次函数的关系式．3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB＝4m，顶部C离地面高度为4.4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．5．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1，0)与(2，5)两点．(1)求这个二次函数的关系式；(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2＋bx＋c关系式的题目，使所求得的二次函数与(1)的相同．四、小结与作业3小结求二次函数关系式的一般步骤是什么？有哪几种求法？作业1．布置作业：教材“习题26.2”中第4，5题．2．完成同步练习册中本课时的练习．确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．