九年级数学下册第26章二次函数263实践与探索第1课时二次函数与实际问题教案新版华东师大版

126．3实践与探索第1课时二次函数与实际问题会通过对现实情境的分析，确定二次函数的关系式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．重点确定二次函数的关系式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．难点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．一、创设情境，引入新课生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？二、探究问题，形成概念例1如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－112x2＋23x＋53，问此运动员把铅球推出多远？解如图，铅球落在x轴上，则y＝0，因此，－112x2＋23x＋53＝0，解方程，得x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)．所以，此运动员把铅球推出了10米．探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面53m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．例2如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高1.25m，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.(1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？2(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？(精确到0.1m)分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．解：(1)以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落下与x轴交点为C(如图)．由题意得，A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25.将A(0，1.25)代入上式，得1.25＝a(0－1)2＋2.25，解得a＝－1，所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.当y＝0时，解得x1＝－0.5(不合题意，舍去)，x2＝2.5，所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5m.(2)由于喷出的抛物线形状与(1)相同，可设此抛物线为y＝－(x－h)2＋k.由抛物线过点(0，1.25)和(3.5，0)，可求得h＝117，k＝729196≈3.7.所以，水流最大高度应达3.7m.三、练习巩固1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的关系式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？解(1)设抛物线关系式为y＝ax2设点B(10，n)，点D(5，n＋3)，由题意：n＝100a，n＋3＝25a，解得n＝－4，a＝－125，∴y＝－125x2.(2)方法一：当x＝3时，y＝－925，∵－925－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．方法二：当y＝3.6－4＝－25时，－25＝－125x2，∴x＝±10，∵|±10|＞3，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为3了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x(十万元)012…y11.51.8…(1)求y与x的函数关系式；(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c.由表中数据，得c＝1，a＋b＋c＝1.5，4a＋2b＋c＝1.8，解得a＝－110，b＝35，c＝1，所以所求二次函数关系式为y＝－110x2＋35x＋1.(2)根据题意，得S＝10y×(3－2)－x＝－x2＋5x＋10.(3)S＝－x2＋5x＋10＝－(x－52)2＋654.由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．四、小结与作业小结先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充．作业1．布置作业：教材P28“练习”．2．完成同步练习册中本课时的练习．在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．4