2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件723同角三角函数的基本关系式

-1-7.2.3同角三角函数的基本关系式-2-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.理解同角三角函数的基本关系式:2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.sin2α+cos2α=1,𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠α=tanα及其公式的证明.-3-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究思维脉络-4-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨美国气象学家爱德华·罗伦兹1963年提出一个观点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世的“蝴蝶效应”.此效应的本义是事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙热带雨林中的一只蝴蝶与美国得克萨斯州的一场龙卷风看起来是毫不相干的两种事物,却有这样的联系,这也验证了哲学理论中事物之间是普遍联系的这一观点.看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数间会存在什么样的关系呢?本节课我们就来探索这个问题.-5-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:同角三角函数的基本关系如果P(x,y)是α终边上不同于坐标原点的点,记r=x2+y2,则sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx.由此可看出sin2α+cos2α=1,tanα=𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠α.-6-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析(1)基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.(3)sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.(2)这里的“同角”应作广义上的理解,如𝜋2与𝜋2、2α与2α是同角,2α+𝜋3与2α+𝜋3是同角,即“同角”的概念与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1,𝑠𝑖𝑛α2𝑐𝑜𝑠α2=tanα2(α≠2kπ+π,k∈Z)恒成立.-7-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微拓展同角三角函数基本关系式的变形1.sin2α+cos2α=1的变形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(5)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.2.商数关系tanα=sin𝛼cos𝛼α≠kπ+π2,k∈Z的变形(1)sinα=tanα·cosα;(2)cosα=sin𝛼tan𝛼.-8-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习(1)sin22021°+cos22021°=()A.0B.1C.2021D.2021°(2)若sinθ+cosθ=0,则tanθ=.解析(1)由平方关系知sin22021°+cos22021°=1.(2)由sinθ+cosθ=0得sinθ=-cosθ,答案(1)B(2)-1所以tanθ=sin𝜃cos𝜃=-cos𝜃cos𝜃=-1.-9-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用同角三角函数基本关系式求值例1(1)若sinα=-513,且α为第三象限角,则tanα的值等于()A.125B.-125C.512D.-512(2)已知sinα+cosα=-13,0απ.①求sinαcosα的值;②求sinα-cosα的值.分析(1)根据sinα=-513和sin2α+cos2α=1列方程组求tanα.(2)已知sinα+cosα=-13,两边平方后再利用sin2α+cos2α=1,即可求出sinαcosα,再把sinα-cosα两边平方,注意角α的范围.-10-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)解析因为α为第三象限角,所以cosα=-1-sin2𝛼=-1213.所以tanα=sin𝛼cos𝛼=512.答案C(2)解①由sinα+cosα=-13,得(sinα+cosα)2=19,sin2α+2sinαcosα+cos2α=19,则sinαcosα=-49.②因为0απ,且sinαcosα0,所以sinα0,cosα0,则sinα-cosα0.sinα-cosα=(sin𝛼-cos𝛼)2=1-2sin𝛼cos𝛼=173.-11-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.-12-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究已知tanα=125,求sinα,cosα的值.解∵tanα=1250,∴α为第一或第三象限的角.当α是第一象限角时,tan𝛼=sin𝛼cos𝛼=125,sin2𝛼+cos2𝛼=1,解得sin𝛼=1213,cos𝛼=513.同理,当α为第三象限角时,sinα=-1213,cosα=-513.-13-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测例2已知tanα=-13,求下列各式的值.(1)4sin𝛼-2cos𝛼5cos𝛼+3sin𝛼;(2)2sin2α-32sinαcosα+5cos2α;(3)11-sin𝛼cos𝛼.分析由于已知条件为切,所求式为弦,故应想办法将切化弦,或将弦化切(这是一种分析综合的思想);若切化弦,应把条件tanα=sin𝛼cos𝛼=-13代入所求式,消去其中一种函数,再进一步求值;若弦化切,应把所求式化成用tanα表示的式子,代入化简即可.-14-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)由tanα=sin𝛼cos𝛼=-13,得cosα=-3sinα,代入所求式得4sin𝛼-2(-3sin𝛼)5(-3sin𝛼)+3sin𝛼=10sin𝛼-12sin𝛼=-56.(2)原式=2sin2𝛼-32cos𝛼sin𝛼+5cos2𝛼cos2𝛼·cos2α=2tan2𝛼-32tan𝛼+5·11+tan2𝛼.将tanα=-13代入,原式=2×19+12+5×910=10320.(3)原式=sin2𝛼+cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼-sin𝛼cos𝛼=tan2𝛼+1tan2𝛼+1-tan𝛼=19+119+1+13=1013.-15-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知角α的正切值,求由sinα和cosα构成的代数式的值(1)对分式齐次式,因为cosα≠0,一般可在分子和分母中同时除以cosnα,使所求代数式化成关于tanα的代数式,从而得解;(2)对整式(一般是指关于sin2α,cos2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cos2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2α,即可得关于tanα的代数式,从而得解.-16-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知tan2𝛼1+2tan𝛼=13,α∈0,π2.(1)求tanα的值;(2)求sin𝛼+2cos𝛼5cos𝛼-sin𝛼的值.解(1)由tan2𝛼1+2tan𝛼=13得,3tan2α-2tanα-1=0,即(3tanα+1)(tanα-1)=0,解得tanα=-13或tanα=1.因为α∈0,π2,则tanα0,所以tanα=1.(2)由(1)得tanα=1,所以sin𝛼+2cos𝛼5cos𝛼-sin𝛼=tan𝛼+25-tan𝛼=1+25-1=34.-17-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用同角三角函数关系式化简例3化简:(1)1-2sin40°cos40°;(2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β.-18-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)1-2sin40°cos40°=(sin40°-cos40°)2=|sin40°-cos40°|,因为sin40°cos40°,所以|sin40°-cos40°|=cos40°-sin40°.(2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β=cos2β+sin2β=1.-19-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.-20-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2化简:1-2sin10°cos10°sin10°-1-sin210°.解1-2sin10°cos10°sin10°-1-sin210°=(cos10°-sin10°)2sin10°-cos210°=|cos10°-sin10°|sin10°-cos10°=-cos10°-sin10°cos10°-sin10°=-1.-21-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用同角三角函数关系式证明例4求证:1-2sin𝑥cos𝑥cos2𝑥-sin2𝑥=1-tan𝑥1+tan𝑥.证明(方法一)因为左边=sin2𝑥+cos2𝑥-2sin𝑥cos𝑥cos2𝑥-sin2𝑥=(cos𝑥-sin𝑥)2(cos𝑥-sin𝑥)(cos𝑥+sin𝑥)=cos𝑥-sin𝑥cos𝑥+sin𝑥=cos𝑥cos𝑥-sin𝑥cos𝑥cos𝑥cos𝑥+sin𝑥cos𝑥=1-tan𝑥1+tan𝑥=右边.所以原式成立.(方法二)由方法一知,左边=cos𝑥-sin𝑥cos𝑥+sin𝑥,右边=1-sin𝑥cos𝑥1+sin𝑥cos𝑥=cos𝑥-sin𝑥cos𝑥+sin𝑥,所以左边=右边,故原式成立.-22-7.2.3同角三角函数的基本关系式课前篇自主预习课堂篇主题探究