2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件734正切函数的性质与图像

-1-7.3.4正切函数的性质与图像-2-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.能画出正切函数的图像.2.会利用y=tanx的性质确定与正切函数有关的函数性质.3.会利用正切函数的单调性比较函数值大小.-3-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究思维脉络-4-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨类似于正弦函数,我们可以定义正切函数:y=tanx,其中x是自变量,对任意一个x,按照这个对应关系,都有唯一确定的正切值与之对应.我们在正弦函数中,研究了它的图像,以及定义域、值域、单调性、奇偶性等性质.那么,正切函数的图像有什么特点?它又有哪些上述的性质呢?-5-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点一:正切函数的性质与图像1.对于任意一个角x,只要x≠+kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值tanx与之对应,因此y=tanx是一个函数,称为正切函数.π2-6-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨函数y=tanx定义域值域R周期最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在每一个开区间上都是单调递增的零点kπ(k∈Z)2.正切函数的性质-7-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨3.正切函数的图像(1)正切函数的图像:(2)正切曲线:y=tanx的函数图像称为正切曲线.正切曲线是中心对称图形,其对称中心为𝑘π2,0(k∈Z).-8-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微判断(1)函数y=tanx在其定义域上是增函数.()(2)函数y=tanx的图像的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).()(3)函数y=tan2x的周期为π.()答案(1)×(2)×(3)×-9-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习函数y=tanx,x∈0,π4的值域是.解析y=tanx在x∈0,π4上单调递增,所以tan0≤y≤tanπ4,即0≤y≤1.答案[0,1]-10-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点二:正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的性质1.定义域:将ωx+φ视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+π2,k∈Z,解得x.2.值域:R.3.周期性:周期T=π|𝜔|.4.奇偶性:当φ=𝑘π2(k∈Z)时为奇函数,否则,不具备奇偶性.5.单调性:将ωx+φ视为一个整体,若ω0,一般先用诱导公式化为ω0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A0(A0)时,函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω0)的单调性与y=tanxx∈R,x≠π2+kπ,k∈Z的单调性相同(反),解不等式可得出单调区间.-11-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习函数y=3tanπ4-2𝑥的定义域是,周期是,单调区间是.答案𝑥𝑥≠𝑘π2+3π8,𝑘∈Zπ2𝑘π2-π8,𝑘π2+3π8(k∈Z)-12-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测正切函数的定义域、周期性、奇偶性例1(1)(2020陕西咸阳高一检测)函数y=tan12x+π4的定义域是()A.𝑥𝑥≠2𝑘π+π2,𝑘∈ZB.𝑥𝑥≠4𝑘π+π2,𝑘∈ZC.𝑥𝑥≠𝑘π2+π8,𝑘∈ZD.𝑥𝑥≠𝑘π+π8,𝑘∈Z(2)函数y=tan(sinx)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数(3)若函数f(x)=tanωx+π4(ω0)的最小正周期为2π,则ω=;fπ6=.-13-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析(1)结合正切函数中𝑥2+π4≠π2+kπ,k∈Z求解.(2)根据奇偶函数的性质判断.(3)由T=π|𝜔|=2π求ω,进而求f(π6).解析(1)令12x+π4≠kπ+π2(k∈Z),解得x≠2kπ+π2(k∈Z),故函数的定义域为𝑥𝑥≠2𝑘π+π2,𝑘∈Z.(2)易知函数的定义域为R,f(-x)=tan[sin(-x)]=tan(-sinx)=-tan(sinx)=-f(x),是奇函数.(3)因为函数f(x)=tanωx+π4(ω0)的最小正周期为T=π|𝜔|=2π,所以ω=12.所以f(x)=tan12x+π4,fπ6=tan12×π6+π4=tanπ3=3.答案(1)A(2)A(3)123-14-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了要满足函数定义域的一般要求,还要保证正切函数y=tanx有意义,即x≠π2+2kπ,k∈Z.(2)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=π|𝜔|,常常利用此公式来求周期.-15-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)下列函数中,同时满足:①在0,π2上单调递增,②为奇函数,③以π为最小正周期的是()A.y=tanxB.y=cosxC.y=tan𝑥2D.y=|tanx|(2)函数f(x)=tan2𝑥tan𝑥的定义域为()A.𝑥𝑥∈R,且𝑥≠𝑘π4,𝑘∈ZB.𝑥𝑥∈R,且𝑥≠𝑘π+π2,𝑘∈ZC.𝑥𝑥∈R,且𝑥≠𝑘π+π4,𝑘∈ZD.𝑥𝑥∈R,且𝑥≠𝑘π-π4,𝑘∈Z-16-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)经验证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数周期为2π.(2)由题意得𝑥≠𝑘π,𝑥≠𝑘π+π2,𝑘∈Z,2𝑥≠𝑘π+π2,即𝑥≠𝑘π2,𝑥≠𝑘π2+π4,k∈Z,所以x≠𝑘π4(k∈Z).答案(1)A(2)A-17-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测正切函数单调性问题(2)比较tan1,tan2,tan3的大小.分析(1)由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解.(2)可利用正切函数单调性进行比较.例2(1)求函数y=tan-12𝑥+π4的单调区间;-18-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)y=tan-12𝑥+π4=-tan(12x-π4),则由kπ-π212x-π4kπ+π2(k∈Z)得2kπ-π2x2kπ+32π(k∈Z),所以函数y=tan-12𝑥+π4的单调递减区间是2kπ-π2,2kπ+32π(k∈Z).(2)因为tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),又因为π22π,所以-π22-π0.因为π23π,所以-π23-π0,显然-π22-π3-π1π2,且y=tanx在-π2,π2内单调递增,所以tan(2-π)tan(3-π)tan1,即tan2tan3tan1.-19-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求正切型函数单调区间的方法求y=Atan(ωx+φ)的单调区间,只需令kπ-π2ωx+φkπ+π2(k∈Z)解出x即可,但ω0时,应用诱导公式化为正的,还要注意A的正负对单调性的影响.-20-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究求函数y=tan-12𝑥+π4的单调区间.解y=tan-12𝑥+π4=-tan12𝑥-π4,由kπ-π212x-π4≤kπ(k∈Z),得2kπ-π2x≤2kπ+π2(k∈Z).故该函数单调递减区间为2𝑘π-π2,2𝑘π+π2,k∈Z.-21-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测求函数的值域分析利用换元法,将原函数化为二次函数的形式来解决.例3求函数y=tan2x-2tanx|𝑥|≤π3的值域.-22-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解令u=tanx.因为|x|≤π3,所以由正切函数的图像知u∈[-3,3].所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-3,3].因为二次函数图像的开口向上,对称轴方程为u=--22=1,所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1.当u=-3时,ymax=3+23.所以f(x)的值域为[-1,3+23].反思感悟换元法求值域的关注点使用换元法求函数值域时,一定要注意换元后自变量的取值范围.-23-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)函数y=tan𝑥2+π4,x∈0,π6的值域是.(2)已知-π3≤x≤π4,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相应的x值.(1)解析由x∈0,π6,所以𝑥2+π4∈π4,π3,结合正切函数的性质可得1y≤3.答案(1,3](2)解令t=tanx,因为-π3≤x≤π4,所以-3≤tanx≤1,所以t∈[-3,1],y=t2+2t+2=(t+1)2+1.当t=-1,即x=-π4时,f(x)有最小值1;当t=1,即x=π4时,f(x)有最大值5.-24-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测数形结合思想在三角中的应用典例当x∈-3π2,3π2时,确定方程tanx-sinx=0根的个数.解将方程变形为tanx=sinx,作出函数y=tanx,y=sinx在-3π2,3π2上的图像,则两图像交点的个数就是原方程根的个数.在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在-π2,π2内的图像,需明确x∈0,π2时,有sinxxtanx(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x∈-3π2,3π2时的两函数的图像,如图所示,由图像可知它们有3个交点.所以方程有3个根.-25-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛数形结合法求解问题的关键是准确地画出图像.-26-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.若tan2𝑥-π3≤1,则x的取值范围是()A.𝑘π2-π12,𝑘π2+7π24(k∈Z)B.𝑘π-π12,𝑘π+7π24(k∈Z)C.𝑘π2-π12,𝑘π2+7π24(k∈Z)D.𝑘π+π12,𝑘π+7π24(k∈Z)解析由题意,知kπ-π22x-π3≤kπ+π4,k∈Z,解得𝑘π2−π12x≤𝑘π2+7π24,k∈Z.答案C-27-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.函数y=3tan12𝑥+π3的图像的一个对称中心是()A.π6,0B.2π3,-33C.-2π3,0D.(0,0)答案C-28-7.3.4正切函数的性质与图像课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三