2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件821两角和与差的余弦

-1-8.2.1两角和与差的余弦-2-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.思维脉络-3-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间的距离约为60米,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度.设电视发射塔的高度CD=x,则AB=AC·cos15°=60cos15°,BC=ACsin15°=60sin15°,BD=AB·tan60°=60·cos15°·tan60°=60cos15°,∴x=BD-BC=60cos15°-60sin15°.如果能求出cos15°,sin15°的值,就可求出电视发射塔的高度.问题:1.30°=60°-30°,那么cos30°=cos60°-cos30°成立吗?类似的15°=45°-30°,那么cos15°=cos45°-cos30°成立吗?∀α,β∈R,cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗?2.如何用α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢?3-4-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:两角和与差的余弦公式名称公式简记两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβCα+β两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβCα-β-5-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨名师点析两角和与差的余弦公式的常见变形应用cosα+sinα=222cosα+22sinα=2cosα-𝜋4;cosα-sinα=222cosα-22sinα=2cosα+𝜋4;12cosα+32sinα=cosα-𝜋3;12cosα-32sinα=cosα+𝜋3.-6-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微练习cos15°=.答案2+64微判断(1)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.()(2)cos(α+β)=cosα+cosβ.()(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ对任意α,β都成立.()(4)22cosα+22sinα=cos(45°-α).()答案(1)×(2)×(3)(4)-7-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测两角和与差的余弦公式的简单应用例1(1)cos615°的值为()A.6+24B.-6+24C.6-24D.2-64(2)计算sin7°cos23°+sin83°cos67°的值为()A.-12B.12C.32D.-32分析(1)先把615°转化为两个特殊角的差,再进一步转化利用两角和的余弦公式求解.(2)先利用诱导公式对角进行转化,再逆用两角差的余弦公式求解.-8-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析(1)cos615°=cos(720°-105°)=cos105°=cos(45°+60°)=2-64.(2)sin7°cos23°+sin83°cos67°=cos83°cos23°+sin83°sin23°=cos(83°-23°)=cos60°=12.答案(1)D(2)B反思感悟利用两角和与差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路(1)先把非特殊角转化为特殊角的和或差,再用公式直接求值;(2)充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.-9-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究求2cos15°-23sin15°的值.解原式=412cos15°-32sin15°=4cos75°=4cos(45°+30°)=4×6-24=6−2.-10-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测给值求值问题例2已知cosα=17,cos(α+β)=-1114,α,β∈0,π2,求cosβ的值.分析将β转化为(α+β)-α,再利用公式.解∵cosα=17,α∈0,π2,∴sinα=437.∵α,β∈0,π2,∴0α+βπ,∴sin(α+β)=5314.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1114×17+5314×437=12.-11-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟给值求值问题的两个主要技巧一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:α=(α+β)-β=β-(β-α)=12[(α+β)+(α-β)]=12[(α+β)-(β-α)],2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),α+2β=(α+β)+β等.变换的方式很多,需要自己慢慢地体会和探索.-12-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知cos(α-β)=-45,cos(α+β)=45,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,求cos2α,cos2β.解∵3π2α+β2π,cos(α+β)=45,∴sin(α+β)=-35.又π2α-βπ,cos(α-β)=-45,∴sin(α-β)=35.故cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=45×-45−-35×35=-725.cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.-13-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测给值求角问题分析利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.例3已知锐角α,β满足sinα=55,cosβ=31010,求α+β.-14-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解因为α,β为锐角,且sinα=55,cosβ=31010,所以cosα=1-sin2𝛼=1-15=255,sinβ=1-cos2𝛽=1-910=1010.所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010−55×1010=22.由0απ2,0βπ2,得0α+βπ,又cos(α+β)0,所以α+β为锐角,所以α+β=π4.-15-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟解决给值求角问题的策略求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.-16-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知π2βα3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,求α.解∵π2βα3π4,∴0α-βπ4,πα+β3π2.∴sin(α-β)=1-cos2(𝛼-𝛽)=513,cos(α+β)=-1-sin2(𝛼+𝛽)=-45,∴cos2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=1213×-45−513×-35=-48+1565=-3365.∵π2α3π2,∴2α=2π-arccos-3365.∴α=π-12arccos-3365.-17-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测角的变换技巧的应用角的变换是三角恒等变换的首选方法.在进行三角恒等变换时,对角与角之间的关系必须进行认真的分析.(1)分析角之间的和、差、倍、分关系,例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),(2)在非特殊值角的三角函数式化简中,要特别注意能否产生特殊角.(3)熟悉两角互余、互补的各种形式,如α+β=,α+β=π,正确掌握诱导公式的正用、逆用、变形用.2β=(α+β)-(α-β),π4-α=π2−π4+𝛼,𝛼+𝛽2=𝛼-𝛽2−𝛼2-𝛽.π2-18-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测典例设cos𝛼-𝛽2=-19,sin𝛼2-𝛽=23,其中α∈π2,π,β∈0,π2,求cos𝛼+𝛽2.解∵α∈π2,π,β∈0,π2,∴α-𝛽2∈π4,π,𝛼2-β∈-π4,π2,∴sin𝛼-𝛽2=1-cos2𝛼-𝛽2=1-181=459,cos𝛼2-𝛽=1-sin2𝛼2-𝛽=1-49=53,∴cos𝛼+𝛽2=cos𝛼-𝛽2-𝛼2-𝛽=cos𝛼-𝛽2cos𝛼2-𝛽+sin𝛼-𝛽2sin𝛼2-𝛽=-19×53+459×23=7527.-19-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换,而角的变换主要体现了拆角与凑角的方法.-20-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练已知cosα=45,cos(α+β)=35,α,β∈0,π2,求cosβ的值.解∵α,β均为锐角,∴0α+βπ,∴sin(α+β)0.∵cosα=45,cos(α+β)=35,∴sinα=35,sin(α+β)=45.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=35×45+45×35=2425.-21-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.在△ABC中,已知cosAcosBsinAsinB,则△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析由cosAcosBsinAsinB得cosAcosB-sinAsinB0,答案C即cos(A+B)0,∴0A+Bπ2,即Cπ2,故C为钝角.-22-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.(多选)满足cosαcosβ=32+sinαsinβ的α,β的值可能是()A.α=13π12,β=3π4B.α=π2,β=π3C.α=π2,β=π6D.α=-π3,β=π6解析由cosαcosβ=32+sinαsinβ,得cosαcosβ-sinαsinβ=32,利用两角和的余弦公式,得cos(α+β)=32,所以α+β=2kπ±π6(k∈Z),故符合题意的有A,D.答案AD-23-8.2.1两角和与差的余弦课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.12cos15°+32sin15°=.解析因为12=cos60°,32=