2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件824第1课时半角的正弦余弦和正切

-1-第1课时半角的正弦、余弦和正切-2-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课标阐释1.能用倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.2.理解半角的正弦、余弦和正切公式.3.会用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明.思维脉络-3-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占一个字节,但不管是全角还是半角,汉字都要占两个字节.事实上,汉字字符规定了英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而通常的英文字母、数字、符号都是半角字符.那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分呢?二者有何数量关系?-4-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨知识点:半角公式sinα2=±1-𝑐𝑜𝑠α2,cosα2=±1+𝑐𝑜𝑠α2,tanα2=±1-𝑐𝑜𝑠α1+𝑐𝑜𝑠α.名师点析(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.(2)若给出了角α的具体范围,则先求α2所在范围,再根据α2所在范围确定符号.-5-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨(3)若给出的角α是某一象限的角,则根据下表决定符号:(4)正切半角的有理形式:tanα2=𝑠𝑖𝑛α1+𝑐𝑜𝑠α=1-𝑐𝑜𝑠α𝑠𝑖𝑛α.-6-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微技巧半角公式的记忆方法:无理半角常戴帽,象限确定帽前号;数1余弦加减连,角小值大用加号.说明:“无理半角常戴帽”是指半角公式是带有根号的无理式;“象限确定帽前号”指的是半角公式正负号的取舍依赖于所在的象限;“数1余弦加减连”指的是公式根号下是数“1”与余弦的和或差;“角小值大用加号”指的是由于1+cosα(α为锐角)是减函数,因此角小值大,故用“+”号.𝛼2-7-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课前篇自主预习激趣诱思知识点拨微判断(1)sin15°=±1-𝑐𝑜𝑠30°2.()(2)对于∀α∈R,sin𝛼2=12sinα都不成立.()(3)若5πθ6π,cos𝜃2=a,则cos𝜃4=1+𝑎2.()答案(1)×(2)×(3)×-8-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用半角公式求值例1已知tan2θ=-22,θ∈π4,π2,求2cos2𝜃2-sin𝜃-13sinπ3+𝜃sinπ3-𝜃的值.分析先化简,再求值.-9-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解原式=cos𝜃-sin𝜃32cos2𝜃+34.因为θ∈π4,π2,所以2θ∈π2,π.所以cos2θ=-11+tan22𝜃=-11+(-22)2=-13.所以sinθ=1-cos2𝜃2=1--132=63,cosθ=1-sin2𝜃=1-632=33,所以原式=33-63-36+34=4(1-2).-10-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用半角公式求值的思路(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan𝛼2=sin𝛼1+cos𝛼=1-cos𝛼sin𝛼,涉及半角公式的正弦值、余弦值时,常利用sin2𝛼2=1-cos2𝛼2,cos2𝛼2=1+cos2𝛼2计算.(4)下结论:结合(2)求值.-11-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知sinα=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cos𝛽2的值.解∵0απ2,∴cosα=1-sin2𝛼=513.∵0απ2,0βπ2,∴0α+βπ.若0α+βπ2,∵sin(α+β)sinα,∴α+βα不可能成立,故π2α+βπ.∴cos(α+β)=-35.-12-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-35×513+45×1213=3365.∵0βπ2,即0𝛽2π4,故cos𝛽2=1+cos𝛽2=76565.-13-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用半角公式化简三角函数式例2化简:(1+sin𝛼+cos𝛼)sin𝛼2-cos𝛼22+2cos𝛼(πα2π).分析由观察知含有𝛼2与α,且分母中含有根号,先用升幂公式将cosα化为关于cos2𝛼2的式子,再去掉根号求值.-14-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解原式=2cos2𝛼2+2sin𝛼2cos𝛼2sin𝛼2-cos𝛼24cos2𝛼2=2cos𝛼2cos𝛼2+sin𝛼2sin𝛼2-cos𝛼22cos𝛼2=cos𝛼2sin2𝛼2-cos2𝛼2cos𝛼2=-cos𝛼2cos𝛼cos𝛼2.因为πα2π,所以π2𝛼2π,所以cos𝛼20,所以原式=cosα.-15-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.-16-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例三角函数式若变为:(1+sin𝜃-cos𝜃)(sin𝜃2-cos𝜃2)2-2cos𝜃(0θπ),试化简.解因为0θπ,所以0𝜃2π2,所以2-2cos𝜃=2sin𝜃2,又1+sinθ-cosθ=2sin𝜃2cos𝜃2+2sin2𝜃2=2sin𝜃2sin𝜃2+cos𝜃2,所以原式=2sin𝜃2(sin𝜃2+cos𝜃2)(sin𝜃2-cos𝜃2)2sin𝜃2=-cosθ.-17-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用半角公式证明问题分析方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边;方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.例3证明:1+sin𝑥cos𝑥=tanπ4+𝑥2.-18-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明(方法一)右边=tanπ4+𝑥2=sinπ4+𝑥2cosπ4+𝑥2=sinπ4cos𝑥2+cosπ4sin𝑥2cosπ4cos𝑥2-sinπ4sin𝑥2=cos𝑥2+sin𝑥2cos𝑥2-sin𝑥2=cos𝑥2+sin𝑥22cos𝑥2+sin𝑥2cos𝑥2-sin𝑥2=1+sin𝑥cos𝑥=左边.(方法二)左边=1+sin𝑥cos𝑥=cos𝑥2+sin𝑥22cos𝑥2+sin𝑥2cos𝑥2-sin𝑥2=cos𝑥2+sin𝑥2cos𝑥2-sin𝑥2=1+tan𝑥21-tan𝑥2=tanπ4+tan𝑥21-tanπ4tan𝑥2=tanπ4+𝑥2=右边.-19-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简;(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有目的性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边右边=1”;-20-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2求证:1+sin𝜃-cos𝜃1+sin𝜃+cos𝜃=tan𝜃2.证明左边=(1-cos𝜃)+sin𝜃(1+cos𝜃)+sin𝜃=2sin2𝜃2+2sin𝜃2cos𝜃22cos2𝜃2+2sin𝜃2cos𝜃2=sin𝜃2sin𝜃2+cos𝜃2cos𝜃2sin𝜃2+cos𝜃2=tan𝜃2=右边.-21-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测运用公式求解三角函数综合题的思路(1)将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;(2)求函数f(x)的单调递减区间及函数图像的对称中心.审题策略(1)先用倍角公式化简,再用辅助角公式进行变形;(2)用正弦型函数的性质解答问题.典例已知函数f(x)=asinxcosx-3acos2x+32a+b(a0).-22-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测解(1)f(x)=12asin2x-3a·1+cos2𝑥2+32a+b=12asin2x-32acos2x+b=asin2𝑥-π3+b(a0).(2)令π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ(k∈Z),得kπ+5π12≤x≤kπ+1112π(k∈Z).因此f(x)的单调递减区间是𝑘π+5π12,𝑘π+11π12(k∈Z).令2x-π3=kπ(k∈Z),得x=𝑘2π+π6(k∈Z),故函数图像的对称中心为𝑘π2+π6,𝑏(k∈Z).-23-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测答题模板(1)运用和、差、倍角公式化简.(2)统一化成f(x)=asinωx+bcosωx+k的形式.(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.失误警示造成失分的原因:(1)公式应用错误;(2)函数关系式化简不到位;(3)求单调区间时未用区间.-24-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预习课堂篇主题探究课堂篇主题探究探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练已知函数f(x)=sin2𝑥+π3+sin2𝑥-π3+2cos2x-1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间-π4,π4上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=sin2xcosπ3+cos2xsinπ3+sin2xcosπ3-cos2xsinπ3+cos2x=sin2x+cos2x=2sin2𝑥+π4,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π4,π8上单调递增,在区间π8,π4上单调递减,又f-π4=-1,fπ8=2,fπ4=1,所以函数f(x)在区间-π4,π4上的最大值为2,最小值为-1.-25-第1课时半角的正弦、余弦和正切课前篇自主预