2021学年高中数学人教B版2019必修第三册课件第七章章末整合

-1-章末整合-2-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升知识网络系统构建-3-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题一扇形的弧长、面积公式的应用例1已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r.(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长;(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出最大面积.解(1)∵α=120°=120×π180=2π3,r=6,∴l=αr=2π3×6=4π.(2)设扇形的弧长为l,则l+2r=24,即l=24-2r(0r12),扇形的面积S=12lr=12(24-2r)r=-r2+12r=-(r-6)2+36,当且仅当r=6时,S有最大值36,此时l=24-2×6=12,∴α=𝑙𝑟=126=2rad.-4-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四方法规律弧度制下解决扇形相关问题的步骤(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr,S=12αr2和S=12lr.(这里α必须是弧度制下的角)-5-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四变式训练1用一根长为10m的绳索围成一个圆心角小于π,且半径不超过3m的扇形场地,设扇形的半径为xm,面积为Sm2.(1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域;(2)当半径x和圆心角α为多大时,所围扇形的面积S最大,并求出最大值.-6-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四解(1)设扇形弧长为l,则l=10-2x,S=12lx=(5-x)x=-x2+5x,由0𝑥≤3,010-2𝑥π𝑥,得x∈10π+2,3,从而S=-x2+5x,x∈10π+2,3.(2)由于S=-x2+5x=-x-522+254,又52∈10π+2,3,从而当x=52时,Smax=S52=254cm2,此时,l=5cm,圆心角α=𝑙𝑥=2rad.故当扇形半径为52m,圆心角为2rad时,所围扇形场地面积最大,最大面积为254m2.-7-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题二利用单位圆解三角不等式例2利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.(1)cosα-22;(2)tanα≤33;(3)|sinα|≤12.解(1)如图,由余弦线知角α的取值范围是α2kπ-3π4α2kπ+3π4,k∈Z.-8-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四(2)如图,由正切线知角α的取值范围是αkπ-π2α≤kπ+π6,k∈Z.-9-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四(3)由|sinα|≤12,得-12≤sinα≤12.如图,由正弦线知角α的取值范围是αkπ-π6≤α≤kπ+π6,k∈Z.-10-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四方法技巧利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.(3)写角的范围时,先抓住边界值,再注意角的范围的写法要求.-11-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四变式训练2利用三角函数线,写出满足|cosα||sinα|的角α的集合.解如图,作出单位圆.所以角α满足的集合为αkπ-π4αkπ+π4,k∈Z.-12-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题三同角三角函数的基本关系式的应用例3(1)已知sinα+cosα=713,α∈(0,π),则tanα=.(2)已知sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼=2,计算下列各式的值.①3sin𝛼-cos𝛼2sin𝛼+3cos𝛼;②sin2α-2sinαcosα+1.-13-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四(1)解析(方法一)构建方程组因为sinα+cosα=713,①所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=49169,即2sinαcosα=-120169.因为α∈(0,π),所以sinα0,cosα0.所以sinα-cosα=(sin𝛼-cos𝛼)2=1-2sin𝛼cos𝛼=1713.②由①②解得sinα=1213,cosα=-513,所以tanα=sin𝛼cos𝛼=-125.-14-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四(方法二)弦化切同方法一求出sinαcosα=-60169,则sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=-60169,tan𝛼tan2𝛼+1=-60169,整理得60tan2α+169tanα+60=0,解得tanα=-512或tanα=-125.由sinα+cosα=7130知|sinα||cosα|,故tanα=-125.答案-125-15-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四(2)解由sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼=2,化简,得sinα=3cosα,所以tanα=3.①(方法一)换元原式=3×3cos𝛼-cos𝛼2×3cos𝛼+3cos𝛼=8cos𝛼9cos𝛼=89.(方法二)弦化切原式=3tan𝛼-12tan𝛼+3=3×3-12×3+3=89.②原式=sin2𝛼-2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼+1=tan2𝛼-2tan𝛼tan2𝛼+1+1=32-2×332+1+1=1310.-16-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四名师点析1.sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.2.已知tanα=m,求关于sinα,cosα的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sinα,cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cosα≠0,所以可除以cosα,这样可将被求式化为关于tanα的表示式,然后代入tanα=m的值,从而完成被求式的求值.-17-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四变式训练3已知tanθ=-45.(1)求sin𝜃-cos𝜃sin𝜃+cos𝜃的值;(2)求2sin2θ-sinθcosθ+1的值.解(1)sin𝜃-cos𝜃sin𝜃+cos𝜃=sin𝜃cos𝜃-cos𝜃cos𝜃sin𝜃cos𝜃+cos𝜃cos𝜃=tan𝜃-1tan𝜃+1=-45-1-45+1=-9.(2)2sin2θ-sinθcosθ+1=2sin2𝜃-sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃+1=2sin2𝜃cos2𝜃-sin𝜃cos𝜃cos2𝜃sin2𝜃cos2𝜃+cos2𝜃cos2𝜃+1=2tan2𝜃-tan𝜃tan2𝜃+1+1=2×(-45)2-(-45)(-45)2+1+1=9341.-18-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四专题四利用三角函数的图像与性质解题例4函数f(x)=2sin(ωx+φ)其中ω0,|φ|π2,若函数f(x)的图像与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,且函数f(x)的图像过点(0,1).(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调递增区间;(3)求f(x)在-π2,0内的值域.-19-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四解(1)因为函数f(x)的图像与x轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,所以函数f(x)的周期为π,由T=2π𝜔=π,得ω=2,又函数f(x)的图像过点(0,1),所以f(0)=1,即2sinφ=1,而|φ|π2,所以φ=π6,故f(x)的解析式为y=2sin2x+π6.(2)由y=sinx的单调递增区间是-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π,k∈Z可得-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间是-π3+𝑘π,π6+𝑘π,k∈Z.-20-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四(3)设t=2x+π6,x∈-π2,0,则t∈-5π6,π6,由y=2sint在t∈-5π6,π6上的图像知,当t=-π2时,fmin=-2,当t趋近于π6时,函数值趋近于1,故f(x)=2sin(ωx+φ)在-π2,0内的值域为[-2,1).-21-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四方法技巧1.确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:(1)代入法:把图像上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点-𝜑𝜔,0作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=π2;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=3π2;“第五点”为ωx+φ=2π.-22-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.3.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A0,ω0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A0,ω0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.-23-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四变式训练4已知函数f(x)=2sin𝑥2+φ(0φπ).(1)当φ=π3时,在给定的坐标系内,用“五点法”做出函数f(x)在一个周期内的图像;(2)若函数f(x)为偶函数,求φ的值;(3)在(2)的条件下,求函数在[-π,π]上的单调递减区间.-24-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四解(1)当φ=π3时,f(x)=2sin𝑥2+π3,列表如下:x2+𝜋30𝜋2π3𝜋22πx-2𝜋3𝜋34𝜋37𝜋310𝜋3f(x)=2sinx2+𝜋3020-20-25-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四作出函数f(x)=2sin𝑥2+π3的一个周期内的图像,如图所示,-26-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升题型突破深化提升专题一专题二专题三专题四(2)∵函数f(x)为偶函数,∴φ=π2+kπ(k∈Z),∵0φπ,∴φ=π2.(3)由(2)得f(x)=2cos𝑥2,当x∈[-π,π]时,𝑥2∈-π2,π2,∴当𝑥2∈0,π2,即x∈[0,π]时f(x)单调递减.∴函数在[-π,π]上的单调递减区