2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章42422对数运算法则

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.2对数运算法则学习目标核心素养1．理解对数的运算法则．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算法则进行一些简单的化简与证明．(易错点、重点)1．通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养．2．通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养.情境导学探新知大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？问题：观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？log2(2×4)＝log22＋log24＝3；log3(3×9)＝log33＋log39＝3；log2(4×8)＝log24＋log28＝5.[提示]如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN成立．1．对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，α∈R，那么：(1)loga(M·N)＝_______________；loga(N1·N2·…·Nk)＝_________________________(Ni＞0，i＝1,2，…，k)．(2)logaMα＝________.(3)logaMN＝_____________.logaM＋logaNlogaN1＋logaN2＋…＋logaNkαlogaMlogaM－logaN[拓展](1)熟练掌握对数运算法则的逆向应用．逆向应用对数运算法则，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简．(2)对于上面的每一个运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．2．换底公式logab＝______(a0且a≠1，b0，c0且c≠1)．特别地：logab·logba＝__(a0且a≠1，b0且b≠1)．logcblogca1思考：如何准确地应用换底公式？[提示](1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①logab＝1logba；②logambn＝nmlogab，其中a0且a≠1，b0且b≠1，m，n∈R.(1)√(2)×(3)×[(1)根据对数的运算法则可知(1)正确；(2)根据对数的运算法则可知logaxy＝logax＋logay；(3)公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)logaxy＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．()C[由对数的运算法则，知A，B，D错误，C正确．]2．下列结论正确的是()A．loga(x－y)＝logax－logayB．logaxlogay＝logax－logayC．logaxy＝logax－logayD．logaxy＝logaxlogayA[2a＝3b⇒alg2＝blg3，所以log32＝lg2lg3＝ba.]3．若2a＝3b(ab≠0)，则log32＝()A.baB.abC.abD.a2b22－a[∵3a＝2，∴a＝log32，∴2log36－log38＝2(log32＋log33)－3log32＝－log32＋2＝2－a.]4．若3a＝2，则2log36－log38＝________.合作探究释疑难利用对数的运算法则求值【例1】(1)计算8＋2lg2－lg125的值为________．(2)计算：log327＋lg4＋lg25＋－180＝________.(3)计算：①lg5100；②log2(47×25)；③(lg2)2＋lg20×lg5.(1)94(2)92[(1)原式＝(23)＋lg4－(lg1－lg25)＝14＋lg(4×25)＝14＋2＝94.(2)原式＝32＋lg102＋1＝32＋2＋1＝92.](3)[解]①lg5100＝15lg102＝25lg10＝25.②log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19.③(lg2)2＋lg20×lg5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.利用对数运算法则求值的方法(1)利用对数运算法则求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．(2)对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．提醒：对数式的求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．[跟进训练]1．计算下列各式的值：(1)2log23－log2638＋log27－7log72；(2)log33＋lg25＋lg4－log2(log216)．[解](1)2log23－log2638＋log27－7log72＝log29－log2638＋log27－2＝log29×863×7－2＝3－2＝1.(2)原式＝12log33＋lg(25×4)－2＝12＋2－2＝12.利用对数运算法则进行化简【例2】(1)已知log312＝a，试用a表示log324；(2)设a＝lg2，b＝lg3，试用a，b表示lg108.[思路探究]对数运算⇒对数运算法则的应用．[解](1)log312＝log3(3×4)＝1＋2log32＝a，所以log32＝a－12，log324＝log3(8×3)＝1＋3log32＝1＋3×a－12＝3a－12.(2)因为108＝4×27＝22×33，所以lg108＝12lg108＝12lg(22×33)＝12lg22＋12lg33＝lg2＋32lg3＝a＋32b.1．(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a，b表示lg95？[解]lg95＝lg9－lg5＝2lg3－(1－lg2)＝2b＋a－1.2．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg6＝a，lg15＝b”，结果如何？[解]由已知得lg2＋lg3＝a，lg3＋lg5＝b，即lg2＋lg3＝a，lg3＋1－lg2＝b，解得lg2＝a－b＋12，lg3＝a＋b－12，所以lg108＝12lg108＝12lg(22×33)＝12(2lg2＋3lg3)＝lg2＋32lg3＝a－b＋12＋32×a＋b－12＝2a－2b＋2＋3a＋3b－34＝5a＋b－14.关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对数换底公式的应用[探究问题]1．假设log25log23＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？[提示]进一步可以得到x＝log35，即log35＝log25log23.2．由探究1，你能猜测logcblogca与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？[提示]logcblogca＝logab.假设logcblogca＝x，则logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，则x＝logab，所以logcblogca＝logab.【例3】已知3a＝4b＝c，且1a＋1b＝2，求实数c的值．[思路探究]先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．[解]由3a＝4b＝c，得：a＝log3c，b＝log4c，所以1a＝1log3c＝logc3，1b＝1log4c＝logc4.又1a＋1b＝2，所以logc3＋logc4＝logc12＝2，即c2＝12，又3a＝4b＝c0，所以c＝23.1．(变条件)将本例中的条件“1a＋1b＝2”改为“1a－1b＝2”，则实数c又为多少？[解]由3a＝4b＝c得：a＝log3c，b＝log4c，所以1a＝1log3c＝logc3，1b＝1log4c＝logc4.又1a－1b＝2，所以logc3－logc4＝logc34＝2，即c2＝34，又3a＝4b＝c0，所以c＝32.2．(变结论)将本例条件改为“已知正数a，b，c满足3a＝4b＝6c”，求证：1c－1a＝12b.[证明]设3a＝4b＝6c＝k(k1)，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，所以1c－1a＝1log6k－1log3k＝logk6－logk3＝logk63＝logk2，12b＝12log4k＝12logk4＝logk2，所以1c－1a＝12b.应用换底公式应注意的两个方面(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．课堂小结提素养一、知识总结1．在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算．2．运用对数运算法则应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算法则．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．二、方法归纳1．利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．2．利用结论logab·logba＝1，loganbm＝mnlogab，化简求值更方便．三、常见误区要注意对数的运算法则的结构形式，易混淆．B[法一：原式＝log232log23＝2log23log23＝2.法二：原式＝log39＝2.]1．log29log23＝()A.12B．2C.32D.92C[∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lga＋lgb＝－－42＝2，∴ab＝100.故选C.]2．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于()A．2B．12C．100D．10D[因为log545＝log5(5×9)＝1＋log59＝1＋2log53＝a，所以log53＝a－12.]3．若log545＝a，则log53＝()A.2a－1B.21＋aC.a＋12D.a－121[原式＝log25×25＝log22＝1.]4．计算：log25－log252＝________.5．计算下列各式的值：(1)lg2＋lg5－lg8lg5－lg4；(2)3log72－log79＋2log7322.[解](1)原式＝1－3lg2lg5－2lg2＝1－3lg2lg5＋lg2－3lg2＝1－3lg21－3lg2＝1.(2)原式＝log723－log79＋log73222＝log78×989＝log71＝0.点击右图进入…课时分层作业Thankyouforwatching!