2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章43指数函数与对数函数的关系

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.3指数函数与对数函数的关系学习目标核心素养1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系．(重点)2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图像、性质解决一些简单问题．(难点)1．通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.情境导学探新知如图给出了指数函数y＝2x、对数函数y＝log2x的图像，解决下面的问题：问题1：y＝2x图像上的点(0,1)与y＝log2x图像上的点(1,0)关于哪一条直线对称？[提示]关于直线y＝x对称．问题2：y＝2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝log2x的图像上吗？反过来，y＝log2x图像上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝2x的图像上吗？[提示]都在y＝log2x的图像上，都在y＝2x的图像上．问题3：y＝2x与y＝log2x的图像是否关于直线y＝x对称？[提示]关于直线y＝x对称．问题4：如何由y＝2x变换出y＝log2x?[提示]y＝2xx＝log2yy＝log2x.1．反函数的概念与记法(1)反函数的概念一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个__的值，只有_________与之对应，那么___是___的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在________．(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用_________表示．y唯一的xxy反函数y＝f－1(x)2．反函数的性质一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．则(1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同．(2)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同．[拓展](1)由性质(2)可知，若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图像上；反之，若点(b，a)在y＝f(x)的反函数的图像上，则点(a，b)必在函数y＝f(x)的图像上．(2)特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图像关于直线y＝x对称，如反比例函数y＝kx(k≠0)．思考：如何准确理解反函数的定义？[提示](1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域．(2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是单调函数时，这个函数才存在反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数，因为它在R上不是单调函数．(3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义．3．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax_____________．(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax的图像关于直线______对称．互为反函数y＝x1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝12x的反函数是y＝logx12.()(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.()(3)函数y＝ex的图像与y＝lgx的图像关于y＝x对称．()(1)×(2)×(3)×[(1)函数y＝12x的反函数是y＝logx(x0)．(2)函数y＝log3x的反函数的值域是原函数的定义域，故y＝log3x的反函数的值域为(0，＋∞)．(3)互为反函数的图像关于直线y＝x对称，所以函数y＝ex的图像与y＝lnx的图像关于直线y＝x对称，函数y＝lgx的图像与y＝10x的图像关于直线y＝x对称．]A[y＝ax的反函数为f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.]2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2xB．12xC．logxD．2x－2xC[原函数与它的反函数的图像关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图像过(1,5)，而(1,5)关于y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图像必过点(5,1)．]3．(教材P32习题4－3AT3改编)若函数y＝f(x)的反函数图像过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图像必过点()A．(1,1)B．(1,5)C．(5,1)D．(5,5)y＝x－3(x∈R)[由y＝x＋3，得x＝y－3，x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3(x∈R)．]4．函数y＝x＋3的反函数为__________．合作探究释疑难求函数的反函数【例1】求下列函数的反函数．(1)y＝13x；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)．[思路探究]根据原函数反解x⇒x，y互换⇒原函数的定义域即为反函数的值域．[解](1)由y＝13x，得x＝y，且y0，∴f－1(x)＝x(x0)．(2)由y＝5x＋1，得x＝y－15，∴f－1(x)＝x－15(x∈R)．(3)由y＝x2得x＝±y.因为x≤0，所以x＝－y.所以f－1(x)＝－x(x≥0)．求反函数的一般步骤(1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域．(2)对调原函数解析式中的x和y，解出y.(3)写出反函数．提醒：求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．[跟进训练]1．(1)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则()A．f(2x)＝e2x(x∈R)B．f(2x)＝ln2·lnx(x0)C．f(2x)＝2ex(x∈R)D．f(2x)＝ln2＋lnx(x0)(2)求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数．(1)D[由题意知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，y＝ex0，所以f(x)＝lnx(x0)．则f(2x)＝ln(2x)＝ln2＋lnx(x0)．](2)[解]由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，对换x，y得y＝log0.2(x－1)．∵原函数中x≤1，y≥1.2，∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)，因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)．指数函数与对数函数图像之间的关系【例2】(1)已知a0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝logax的图像只能是()ABCDABCD(2)当a1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像是图中的()(1)C(2)A[(1)y＝ax与y＝logax的单调性一致，故排除A、B；当0＜a＜1时，排除D；当a＞1时，C正确．(2)因为a1时，y＝a－x＝1ax,01a1，是减函数，恒过(0,1)点，y＝logax为增函数，恒过(1,0)点，故选A.]互为反函数的图像特点(1)互为反函数的图像关于直线y＝x对称；图像关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致．(3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．[跟进训练]2．(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的表达式为()A．4x＋3B．3x＋4C．5x＋2D．2x＋5(2)若函数y＝ax1＋x的图像关于直线y＝x对称，则a的值为________．(1)A(2)－1[(1)∵f(x)的反函数图像过点(4,0)，∴f(x)的图像过(0,4)，又f(x)＝ax＋b的图像过(1,7)，所以有方程组a0＋b＝4，a＋b＝7，∴a＝4且b＝3，故f(x)的表达式为4x＋3，选A.(2)由y＝ax1＋x可得x＝ya－y，则原函数的反函数是y＝xa－x，所以xa－x＝ax1＋x，得a＝－1.]指数函数与对数函数的综合应用[探究问题]1．观察函数y＝2x与y＝log2x的图像，指出两个函数的增长有怎样的差异？[提示]根据图像(图略)，可以看到，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．2．你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？[提示]y＝ax(a1)y＝logax(a1)图像定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性质当x0时，y1；当x0时，0y1；当x＝0时，y＝1；在R上是增函数当x1时，y0；当0x1时，y0；当x＝1时，y＝0；在(0，＋∞)上是增函数【例3】已知f(x)＝a·2x－12x＋1(a∈R)，f(0)＝0.(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)log21＋xk.[思路探究](1)判断奇偶性⇒奇偶性定义．(2)求反函数⇒反解，改写，标注定义域．(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集．[解](1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝2x－12x＋1.因为f(x)＋f(－x)＝2x－12x＋1＋2－x－12－x＋1＝2x－12x＋1＋1－2x1＋2x＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．(2)因为f(x)＝y＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，所以2x＝1＋y1－y(－1y1)，所以f－1(x)＝log21＋x1－x(－1x1)．(3)因为f－1(x)log21＋xk，即log21＋x1－xlog21＋xk，所以1＋x1－x1＋xk，－1x1，所以x1－k，－1x1，所以当0k2时，原不等式的解集为{x|1－kx1}；当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1x1}．1．(变条件)本例变为“若f(x)为奇函数”，求a的值．[解]由奇函数定义可得f(－x)＝－f(x)，即a·2－x－12－x＋1＝－a·2x－12x＋1，可变形为a－2x＝1－a·2x，所以a＝1.2．(变结论)本例中的条件不变，如何判断f－1(x)的单调性，并给出证明．[解]由原题解答知：f－1(x)＝log21＋x1－x(－1x1)．任取－1x1x21，则令t(x)＝1＋x1－x＝－－x＋1＋21－x＝－1＋21－x，所以t(x1)－t(x2)＝－1＋21－x1－－1＋21－x2＝21－x1－21－x2＝21－x2－21－x11－x11－x2＝2x1－x21－x11－x2.因为－1x1x21，所以1－x10,1－x20，x1－x20，所以t(x1)－t(x2)0，t(x1)t(x2)，所以log2t(x1)log2t(x2)，即f－1(x1)f－1(x2)，所以函数f－1(x)为(－1,1)上的增函数．解对数不等式的常见解法(1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集．(2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论．课堂小结提素养一、知识总结1．判断一个函数是否存在反函数或求反函数时，均需明确原函数的值域．2．若函数y＝f(x)(定义域为A，值域为B)存在反函数y＝f－1(x)，则(1)y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像不一定有交点，若有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上．(2)若b＝f(a)，则a＝f－1(b)，f－1[f(a)]＝a，f[f－1(b)]＝b.(3)若f(x)＝f－1(x)⇔f(x)的图像关于直线y＝x对称．二、方法归纳数形结合、转化与化归．三、常见误区不是所有函数都有反函数，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数．若y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，则y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)，即y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．1．下列函数中，存在反函数的是()A.xx＞0x＝0x＜