2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第5章51512数据的数字特征

第五章统计与概率5.1统计5.1.2数据的数字特征学习目标核心素养1.会求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、方差．(重点)2．理解上述数字特征的意义，并能解决与之相关的实际问题．(难点)1.通过求数据的数字特征，提升数学运算核心素养．2．借助数据的数字特征的求解，培养数据分析核心素养.情境导学探新知2019年国际射击联合会世界杯总决赛在福建莆田落下帷幕．中国射击队获得11金15银18铜共44枚奖牌，在奖牌榜上高居首位．这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677问题：(1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？(2)如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？(3)两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有什么差异吗？(4)什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？(5)什么样的指标能反映一组数据与其平均值的离散程度？[提示](1)平均成绩一样，s2乙＜s2甲，乙比甲成绩稳定．(2)选乙．(3)有．(4)极差．(5)方差(标准差)．1．最值一组数据的最值指的是其中的_______与_______，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．最大值最小值2．平均数(1)定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．这一公式在数学中常简记为x＝1n∑ni＝1xi.(2)求和符号∑具有的性质：①∑ni＝1(xi＋yi)＝∑ni＝1xi＋∑ni＝1yi；②_______________；③∑ni＝1t＝nt.(3)如果x1，x2，…，xn的平均数为x，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是__________.∑ni＝1(kxi)＝k∑ni＝1xiax＋b3．中位数(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称_____为这组数的中位数；(2)如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称_________为这组数的中位数.xn＋1xn＋xn＋124．百分位数(1)定义：一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．(2)计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取xi＋xi＋12为p%分位数．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．5．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数_____的数据称为这组数据的众数．6．极差一组数的极差指的是这组数的_______减去_______所得的差．最多最大值最小值7．方差与标准差(1)如果x1，x2，…，xn的平均数为x，则方差s2＝____________，方差的算术平方根称为________．(2)如果x1，x2，…，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差是a2s2.1n∑ni＝1(xi－x)2标准差思考：方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？[提示]标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对于一组数据来说，众数是唯一的．()(2)中位数在一组数据中是唯一的，且一定是这组数据中的一个数据．()(3)x1，x2，x3的平均数为x，方差为s2，则2x1－1,2x2－1,2x3－1的平均数为2x－1，方差为4s2－1.()[提示](1)×(2)×(3)×[(1)众数可能不唯一．(2)中位数在一组数据中是唯一的，可能是这组数据中的一个数据，也可能不是这组数据中的数据．(3)2x1－1,2x2－1,2x3－1的平均数为2x－1，方差为4s2，故错误．]C[方差与标准差反映一组数据的离散程度．]2．下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是()A．众数B．平均数C．标准差D．中位数A[x＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2≈4.55.]3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为()A．4.55B．4.4C．12.5D．1.64(1)7(2)2[(1)x＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．合作探究释疑难最值、平均数、众数、中位数、百分位数的求法【例1】(1)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为甲：18192020212223313135乙：11171921222424303032则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________．(2)数据1,2,2,3,5,6,6,7,8,8的40%分位数为__________________，75%分位数为________．[思路探究](1)由甲、乙的数值求出甲、乙10天中每天加工零件的个数，然后求平均数、众数与中位数．(2)利用百分位数的计算方法求解．(1)2424与3023(2)47[(1)甲每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均数为x甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30.中位数为12×(22＋24)＝23.(2)∵40%×10＝4，∴40%分位数为3＋52＝4；∵75%×10＝7.5，∴75%分位数为第8个数据7.]1．最值和众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数，最大的数是最大值，最小的数是最小值．2．求平均数的步骤(1)求和：数据x1，x2，…，xn的和为x1＋x2＋…＋xn.(2)求平均数：和除以数据的个数n，即x1，x2，…，xn的平均数为1n(x1＋x2＋…＋xn)．3．求中位数的一般步骤(1)把数据按大小顺序排列．(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．4．求百分位数的一般步骤(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn.(2)计算：求i＝np%的值．(3)求值：分类p%分位数i不是整数xi0，其中i0为大于i的最小整数i是整数xi＋xi＋12[跟进训练]1．(1)十名工人某天生产同一零件，生产的件数是：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．b＞c＞a(2)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的中位数、25%分位数、75%分位数．(1)B[从小到大排列此数据为：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.平均数为110(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7；数据17出现了三次，17为众数；在第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以这组数据的平均数是14.7，中位数是15，众数是17.](2)[解]这组数据有17个数，17×25%＝4.25,17×75%＝12.75，这组数据的中位数是x9＝1.70，25%分位数是x5＝1.60,75%分位数是x13＝1.75.方差和标准差的计算及应用【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．[思路探究][解](1)x甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，s2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x甲＝x乙，比较它们的方差，∵s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．计算标准差的五个步骤(1)算出样本数据的平均数x.(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－x(i＝1,2,3，…，n)．(3)算出(2)中xi－x(i＝1,2,3，…，n)的平方．(4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差．(5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差．[跟进训练]2．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数2345户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．[解](1)平均数x＝150×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝18550＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝150×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]＝150×48.5＝0.97.所以标准差s≈0.985.样本的数字特征的意义及综合应用[探究问题]1．平均数、中位数、众数中，哪一个量与样本的每一个数据都有关，它的缺点是什么？[提示]平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是受数据中极端值的影响较大．2．在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？[提示]为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性．【例3】据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资110001000090008000650055004000该公司职工月工资的平均数与中位数分别为________，在这两个统计量中，________更能反映这个公司员工的工资水平．[思路探究]求出中位数与平均数，再根据其反映的数字特征进行判断．5333,4000中位数[把工资数据由小到大排列，得到中位数为4000元．平均数x＝11000＋10000＋9000×2＋8000＋6500×5＋5500×3＋4000×2033≈5333元．由数字知，中位数更能反映该公司员工的工资水平，平均数受少数人工资额的影响较大，不能反映这个公司员工的工资水平．]1．平均数、众数、中位数的应用因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．2．标准差(方差)的两个作用(1)标准差