2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第5章54统计与概率的应用

第五章统计与概率5.4统计与概率的应用学习目标核心素养1.通过实例进一步理解概率的意义及应用．(重点)2．能用概率的知识解决实际生活中的问题．(难点)1.通过统计与概率的应用的学习，体现了数学建模的核心素养．2．通过概率解决实际生活中的问题，培养数学运算的核心素养.情境导学探新知某市准备实行阶梯电价，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在第二阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内．问题1：若已知该市所有居民的用电量，怎样确定阶梯电价的临界点？[提示]把该市所有居民的用电量按照从小到大的顺序排列，最后求出这组数的75%分位数、95%分位数即可．问题2：若不能获取所有居民的用电量，又怎样确定阶梯电价的临界点？[提示]可以采用随机抽样和用样本估计总体的办法来解决问题．1．生活中的概率概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识做出合理的_____与决策．2．概率的应用概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是________之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．判断[0,1]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．()(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．()(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华高，所以这次比赛应选小明参加．()(1)×(2)×(3)√[(1)概率很小的事件，也是随机事件，不可能事件的概率为0.(2)概率为0.8，是对每个病人来说，治愈的可能均为0.8，而不是10个人中有8个人被治愈．(3)概率能为我们的决策提供很好的参考，小明获胜的次数多，就应该派小明参加．]C[用样本的合格率近似代替总体的合格率为3640×100%＝90%.]2．从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为()A．36%B．72%C．90%D．25%事件A发生的可能性的大小[根据概率的含义知35表示的是事件A发生的可能性的大小．]3．事件A发生的概率是35，则35表示的________．nMm[由题意得nN≈mM，∴N≈nMm.]4．鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼________条．合作探究释疑难统计的应用【例1】某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：等待时间/min[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]频数48521(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值x及平均等待时间标准差的估计值s；(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？[解](1)易知x＝120∑5i＝1xipi，s2＝120∑5i＝1(xi－x)2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数．x＝120(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min)．s2＝120[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2)．s＝28.5≈5.34(min)．∴病人平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.(2)由(1)知平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84min为好．1．用样本估计总体是统计学中的核心思想．2．主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或总体的分布．3．平均值、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据．[跟进训练]1．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班7970795.2(1)请你对下面的一段话给予简要分析：甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．[解](1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．概率的应用【例2】甲、乙两人做游戏，规定“同时掷两枚骰子，若出现点数之和为偶数，则甲胜，若出现点数之和为奇数，则乙胜”，乙说：“点数之和为2,3,4，…，12，共11种结果，其中偶数有6个，奇数有5个，所以这个游戏是不公平的，甲获胜的可能性要大些．”你认为乙的说法对吗？试说明理由．[思路探究]列出所有结果→计算概率→判断[解]乙的说法是不对的，该游戏是公平的，掷两枚骰子点数之和其实共有36种结果，如表所示：1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112不难看出点数之和为偶数的结果有18种，点数之和为奇数的结果也有18种，所以出现点数之和为偶数和点数之和为奇数的概率都是12，故游戏是公平的．1．游戏规则是否公平：判定概率是否都相等．2．大概率事件易发生，小概率事件不易发生．3．概率在总体估计中的应用．[跟进训练]2．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，所以估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，因此，甲应该选择路径L1，同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分布为48÷60＝0.8,36÷40＝0.9，所以估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，因此乙应该选择路径L2.统计与概率的综合应用[探究问题]1．社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到他们所提问题真实的回答，但是被采访者常常不愿如实作出应答(特别是所提问题是敏感话题或令人为难时)，这该怎么办？[提示]1965年StanleyL．Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法．Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题．两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的；另一个问题是无关紧要的．这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题．2．你认为在问卷的设计中，除了考虑“难以启齿”问题外，还应考虑哪些因素？请举例说明．[提示]例如，调查中问题的措辞会对被调查者产生影响，举例来说，“你在多大程度上喜欢吸烟”与“你在多大程度上不喜欢吸烟”两种问法中，前者会比后者给出更为肯定的答案．再如，问题在问卷中的位置也会对调查者产生影响．一般地，比较容易的、不涉及个人的问题应当排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面，等等．3．调查人员根据调查问卷上的调查数据得到了我们想要的问题答案，他们这种做法的理论依据是什么？[提示]用样本估计总体，即用样本出现的频率近似地估计总体中该问题的概率，从而为决策做出指导．【例3】某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了两个问题．问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？[思路探究]因为摸出红球与白球的可能性相同，所以我们近似地认为回答两个问题的人数相同，进而再求解．[解]由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白球或红球的概率都是0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回答了第二个问题．在摸出白球的情况下，回答父亲阳历生日日期是奇数的概率是186365≈0.51.因而在回答第一个问题的100人中，大约有51人回答了“是”．所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有7人回答了“是”．即估计此地区大约有7%的中学生吸烟．社会调查问题中概率的应用(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．[跟进训练]3．某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调查不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：男女合计赞成调整18927反对调整122537对这次调查不发表看法201636合计5050100随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？[解]用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”．由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝0.73.因此，随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.课堂小结提素养一、知识总结1．统计的应用．2．概率的应用．3．统计与概率的综合应用．二、方法归纳数学建模．三、常见误区不能正确应用概率模型解决问题．1．为了了解某校高一学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()B[[4.7,4.8)的频率为0.32，[4.6,4.7)的频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，所以a＝(0.22＋0.32)×100＝54.]A．64B．54C．48D．27B[∵一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，∴检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是0.9×0.9＋0.1×0.1＝0.82.故选B.]2．一批产品的合格率为