2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第6章62621向量基本定理

第六章平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理学习目标核心素养1.理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题．(重点)2．知道平面向量基本定理的含义和基底的含义．3．会用平面向量基本定理，用基底表示向量．(难点)1.通过共线向量基本定理的学习，培养数学运算和逻辑推理素养．2．借助平面向量基本定理的学习与应用，提升数学运算及逻辑推理核心素养.情境导学探新知通过前面的学习，我们知道可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”判定两向量平行．对这个结论，思考下面的问题．问题1：若实数λ不存在，b∥a什么条件下成立？[提示]a＝0，b≠0.问题2：若实数λ存在且唯一，a∥b什么条件下成立？[提示]a≠0.问题3：若实数λ存在且不唯一，a∥b什么条件下成立？[提示]a＝0且b＝0.1．共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在_____的实数λ，使得______.在共线向量基本定理中：(1)b＝λa时，通常称为b能用a表示．(2)其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.b＝λa唯一思考1：在共线向量基本定理中，为什么要求a≠0?[提示]若a＝0，则0∥b，但是λ0＝0，从而b＝λa中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.2．平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝________.3．基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称_________为c在基底{a，b}下的分解式．xa＋ybxa＋yb思考2：设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？[提示]平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．()(2)若a，b是同一平面内两个不共线向量，则xa＋yb(x，y为实数)可以表示该平面内所有向量．()(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.()(4)基底向量可以是零向量．()(1)×(2)√(3)×(4)×[(1)根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由不共线向量a，b线性表示．(3)当e1与e2共线时，结论不一定成立．(4)基底向量是不共线的，一定是非零向量．]B[a＝－2e1＋e2.]2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为()A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2D．2e1＋e2D[e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底．]3．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1－e2，e1－12e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e212[因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则λ＝k，1＝2k，所以λ＝12.]4．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.合作探究释疑难共线向量基本定理的应用【例1】已知两个非零向量a，b不共线，OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b.(1)证明：A，B，C三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．[思路探究](1)根据共线向量基本定理证明；(2)利用共线向量基本定理建立方程组求解．[解](1)因为OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b，则AB→＝OB→－OA→＝a＋2b－(a＋b)＝b，而AC→＝OC→－OA→＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是AC→＝2AB→，所以A，B，C三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又因为非零向量a，b不共线，所以一定有k－λ＝0且λk－1＝0，解之得，k＝±1.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．－2或13[由题设知k22＝1－52k3，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或13.][跟进训练]1．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋1－52ke2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.用基底表示向量【例2】已知在△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点．若AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AD→，AE→，AF→.[思路探究]把AD→，AE→，AF→分别放在一个封闭三角形中，利用线性运算不断地向基底靠拢．[解]由题意，得AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12(AC→－AB→)＝a＋12(b－a)＝12a＋12b，AE→＝AB→＋BE→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b，AF→＝AB→＋BF→＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.(变结论)例2中，用AE→，AF→表示AB→.[解]AB→＝AE→＋EB→＝AE→＋FE→＝AE→＋(AE→－AF→)＝2AE→－AF→.用基底表示向量的方法(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解．52－12[由条件得2e1＋3e2＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，所以，λ＋μ＝2，λ－μ＝3，解得λ＝52，μ＝－12.][跟进训练]2．(一题两空)向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝________，μ＝________.平面向量基本定理的综合应用[探究问题]1．在向量等式OP→＝xOA→＋yOB→中，若x＋y＝1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？[提示]三点P，A，B在同一直线上．在向量等式OP→＝xOA→＋yOB→中，若x＋y＝1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则x＋y＝1.2．平面向量基本定理的实质是什么？[提示]平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解．【例3】平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)试用a，b，c表示向量EL→，FM→，GN→；(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．[思路探究]本题主要考查平面向量基本定理及应用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量EL→，FM→，GN→；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等．[解](1)由题意得OE→＝12a，OL→＝12(b＋c)，∴EL→＝OL→－OE→＝12(b＋c－a)．同理：FM→＝12(a＋c－b)，GN→＝12(a＋b－c)．(2)证明：设线段EL的中点为P1，则OP1→＝12(OE→＋OL→)＝14(a＋b＋c)．设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得OP2→＝14(a＋b＋c)，OP3→＝14(a＋b＋c)．∴OP1→＝OP2→＝OP3→，即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．1．任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2结论λ1＝λ2，μ1＝μ22．任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[跟进训练]3．如图所示，在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求OP→.[解]OM→＝OA→＋AM→＝OA→＋23AB→＝OA→＋23(OB→－OA→)＝13a＋23b.因为OP→与OM→共线，故可设OP→＝tOM→＝t3a＋2t3b.又NP→与NB→共线，可设NP→＝sNB→，OP→＝ON→＋sNB→＝34OA→＋s(OB→－ON→)＝34(1－s)a＋sb，所以341－s＝t3，s＝23t，解得t＝910，s＝35，所以OP→＝310a＋35b.课堂小结提素养一、知识总结1．判定向量平行的结论结合共线向量基本定理及其推论能解决共线问题．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．二、方法归纳转化与化归．三、常见误区在应用平面向量基本定理时要注意等式a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑．1．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．平面内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任意一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对A[考查平面向量基本定理．因为e1，e2不共线，所以λ1e1＋λ2e2＝0，只能λ1＝λ2＝0.B选项λ1，λ2∈R不对，应该是唯一数对；C选项λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D选项应该是唯一一对．]2．若D点在△ABC的边BC上，且CD→＝4DB→＝rAB→＋sAC→，则3r＋s的值为()A.165B.125C.85D.45C[∵CD→＝4DB→＝rAB→＋sAC→，∴CD→＝45CB→＝45(AB→－AC→)＝rAB→＋sAC→，∴r＝45，s＝－45，∴3r＋s＝125－45＝85.]B[因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．]3．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2－13[∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使AD→＝tAB→，则CD→－CA→＝t(CB→－CA→)，即CD→＝CA→＋t(CB→－CA→)＝(1－t)CA→＋tCB→，∴1－t＝43，t＝λ，即λ＝－13.]4．已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有CD→＝43CA→＋λCB→，则λ＝________.5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.[解]∵a，b不