2021学年新教材数学人教B版必修第二册614数乘向量学案Word版含答案

6.1.4数乘向量学习目标1.通过实例,了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算.自主预习1.一只兔每次位移向量为a,3次位移多少?n(n∈N*)次位移多少?2.在物理中,位移与速度的关系是什么?力与加速度的关系是什么?这几个问题中,位移、速度、加速度、力都是,而次数、时间、质量都是.仔细阅读教材P145,疑难问题认真思考,将不能解决的问题标注出来,等待课堂解决.问题1按照向量的加法法则,若a为非零向量,则a+a的长度与|a|的关系怎样?问题2我们知道,实数x满足x+x+x=3x,那么a+a+a能否写成3a呢?问题33a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢?课堂探究问题探究一:1.数乘向量概念的形成2.数乘向量的概念定义:一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘运算.规定它们的乘积是一个向量,记作λa.问题数乘向量的结果是数值还是向量?λa这个向量与a的长度、方向有何关系?问题λa的几何意义是什么?3.向量数乘的运算律问题类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?问题探究二:4.向量共线定理问题如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况?问题根据向量的数乘运算,λa与a(λ≠0,a≠0)的方向有何关系?问题向量a与λa(λ为常数)共线吗?结论:向量共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.典型例题例1已知a=3e,b=-2e,其中e为非零向量,判断a与b是否平行,并求|a|∶|b|的值.变式训练已知⃗⃗⃗⃗⃗=-e,⃗⃗⃗⃗⃗=5e,判断A,B,C三点是否共线,如果共线,求出AB∶AC.例2(1)化简[---];(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.变式训练化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)].课堂练习1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则()A.k=0B.k=1C.k=2D.k=2.(多选题)下列各式计算正确的有()A.(-7)6a=-42aB.7(a+b)-8b=7a+15bC.a-2b+a+2b=2aD.4(2a+b)=8a+4b核心素养专练1.已知向量a,b,且⃗⃗⃗⃗⃗=a+2b,⃗⃗⃗⃗⃗=-5a+6b,⃗⃗⃗⃗⃗=7a-2b,则一定共线的三点是()A.B,C,DB.A,B,CC.A,B,DD.A,C,D2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗,则()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上3.已知△ABC和点M满足⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.若存在实数m使得⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=m⃗⃗⃗⃗⃗⃗成立,则m的值为()A.2B.3C.4D.54.在△ABC中,点D在直线CB的延长线上,且⃗⃗⃗⃗⃗=4⃗⃗⃗⃗⃗⃗=r⃗⃗⃗⃗⃗+s⃗⃗⃗⃗⃗,则r-s等于()A.0B.C.D.3参考答案自主预习略课堂探究问题探究略例1解:由b=-2e,得e=-b,代入a=3e,得a=-b.|a|=|b|,即|a|∶|b|=3∶2.变式训练解:由已知可得⃗⃗⃗⃗⃗=5e=-5⃗⃗⃗⃗⃗,因此A,B,C三点共线且AC=5AB,即AB∶AC=1∶5.例2解:(1)原式=[--]=[(-)(--)]=(-)=a-b.(2){-①-②由①×3+②×2,得x=3a+2b,代入①,得3×(3a+2b)-2y=a,所以x=3a+2b,y=4a+3b.变式训练解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b.课堂练习1.D2.ACD核心素养专练1.C∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=2a+4b=2⃗⃗⃗⃗⃗,∴A,B,D三点共线.2.D⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗=-2⃗⃗⃗⃗⃗,∴P在AC边上.3.B∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴点M是△ABC的重心.∴⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗=3⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴m=3.4.C∵⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∴⃗⃗⃗⃗⃗=3⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∴⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗+(⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗)-⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗.∴r=,s=-,r-s=.