2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练44幂函数Word版含解析

4.4幂函数必备知识基础练进阶训练第一层知识点一幂函数的概念及图像1.下列函数为幂函数的是()①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xn(n为常数)；④y＝(x－1)3；⑤y＝1x2；⑥y＝x2＋1x.A．①③⑤B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤2．如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－123．如图，函数y＝1x，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是()A．y＝x2B．y＝1xC．y＝x12D．y＝x－24．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)x22mm－－的图像不过原点，则m的取值范围为()A．－1≤m≤2B．m＝－1或m＝2C．m＝1D．m＝1或m＝2知识点二幂函数的性质5.下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是()A．y＝x43B．y＝x32C．y＝x－2D．y＝x146．函数y＝x－2在区间12，2上的最大值是()A.174B.14C．4D．－47．若幂函数的图像过点(2，34)，则它的单调递减区间是________．8．比较下列各题中两个值的大小：(1)1778与1978；(2)352与3.352；(3)2323与－π623；(4)0.20.6与0.30.4；(5)978与8967.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()A．y＝x13B．y＝x12C．y＝x53D．y＝x232．下列命题：①幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图像不可能在第四象限；③n＝0，函数y＝xn的图像是一条直线；④幂函数y＝xn当n0时，是增函数；⑤幂函数y＝xn当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．正确的命题为()A．①④B．④⑤C．②③D．②⑤3．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,34．(易错题)已知y＝(m2－3m－3)x12m-1是幂函数，则m的值为()A．4B．－1C．－1或4D．35．已知幂函数f(x)＝xn的图像过点2，14，且f(a＋1)f(2)，则a的取值范围是()A．(－3,1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)6．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图像可能是()二、填空题7．已知点33，39在幂函数y＝f(x)的图像上，则f(x)的解析式是________，f－13＝________.8．已知幂函数f(x)＝x223mm－＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为________．9．(探究题)已知函数f(x)＝12x－3，x≤0，x12，x0，若f(a)1，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知幂函数f(x)＝x223mm－－(m∈Z)的图像与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)已知幂函数f(x)的图像经过点27，13，则幂函数f(x)具有的性质是()A．在其定义域上为增函数B．在(0，＋∞)上为减函数C．奇函数D．定义域为R2．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为________．3．(学科素养—逻辑推理)已知幂函数f(x)＝x21mm(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．4．4幂函数必备知识基础练1．解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋1x是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．答案：C2．解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝12；当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－12，曲线C4的n＝－2，故选B.答案：B3．解析：∵函数y＝xα的图像过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α0，故排除A，C.对于B，又x＝2时，y＝12，11212，∴函数y＝1x的图像经过⑧部分，当x＝12时，y＝2，122，∴函数y＝1x的图像经过④部分，∴B符合题意．对于D，当x＝2时，y＝14，1412，∴排除D.故选B.答案：B4．解析：依幂函数为y＝xα的形式知m2－3m＋3＝1.又其图像不过原点，则指数m2－m－2≤0.由m2－3m＋3＝1，m2－m－2≤0可得m－1m－2＝0，m＋1m－2≤0得m＝1或m＝2，－1≤m≤2.故m＝1或m＝2.答案：D5．解析：y＝x43＝3x4，这个函数是偶函数，很明显这个函数在(0，＋∞)上单调递增，故在(－∞，0)上是减函数；y＝x32＝x3为非奇非偶函数；y＝x－2是偶函数，也是(－∞，0)上的增函数；y＝x1-4＝14x这个函数是非奇非偶函数．故选C.答案：C6．解析：易知y＝x－2在12，2上单调递减，所以当x＝12时，函数y＝x－2的最大值是12－2＝4.答案：C7．解析：设f(x)＝xα，由2α＝34，∴α＝23，即f(x)＝x23，∴f(x)的减区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)8．解析：(1)∵函数y＝x78在(0，＋∞)上单调递增，又1719，∴17781978.(2)∵y＝x5-2在(0，＋∞)上为减函数，又33.3，∴35-23.35-2.(3)∵－π62-3＝π62-3.函数y＝x2-3在(0，＋∞)上为减函数，23π6，∴232-3π62-3，∴232-3－π62-3.(4)由幂函数的单调性知0.20.60.30.6，又0.30.60.30.4，∴0.20.60.30.4.(5)∵97-8＝197819678967，∴97-88967.关键能力综合练1．解析：y＝x13＝3x的定义域、值域都是R，y＝x53的定义域、值域也为R，y＝x1-2＝1x的定义域、值域都为(0，＋∞)，y＝x23＝3x2的定义域为R，而值域为[0，＋∞)．答案：D2．解析：y＝x－1不过点(0,0)，∴①错误，排除A；当n＝0时，y＝xn的图像为直线y＝1去掉(0,1)点，③错误，排除C；y＝x2不是增函数，④错误，排除B；故选D.答案：D3．解析：当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当α＝12时，函数y＝x12的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.答案：A4．解析：由m2－3m－3＝1得m＝4或m＝－1.又∵m12－1为幂指数，要使式子m12－1有意义需m≥0，∴m＝4.答案：A易错分析：本题往往忽视条件m12－1对m的要求而错选C.5．解析：因为幂函数f(x)＝xn的图像过点2，14，所以2n＝14，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)f(2)，得a＋1－2或a＋12，解得a－3或a1.故选B.答案：B6．解析：选项A中，幂函数的指数a0，则y＝ax－1a应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a1，则y＝ax－1a应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a0，则－1a0，直线y＝ax－1a在y轴上的截距为正，D错误．答案：C7．解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，α为常数；把点的坐标33，39代入解析式，得33α＝39，解得α＝3，所以幂函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x3.f－13＝－133＝－127.答案：f(x)＝x3－1278．解析：因为幂函数f(x)＝x223mm－＋＋(m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x4.答案：f(x)＝x49．解析：若a≤0时，12a－31，则a－2.若a＞0时，a121，则a1，所以a－2或a1.答案：a－2或a110．解析：由m2－2m－3≤0，m2－2m－3m∈Z，是偶数，解得m＝－1,1,3.当m＝－1和3时，f(x)＝x0＝1(x≠0)；当m＝1时，f(x)＝x－4.学科素养升级练1．解析：设幂函数f(x)＝xa(a为常数)，因为幂函数图像过点27，13，所以f(x)＝x－13，所以由f(x)的性质知，f(x)是奇函数，定义域为{x|x∈R，且x≠0}，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递减函数．答案：BC2．解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2与y＝x－2的图像，如图所示，则f(x)＝x2，x≤－1，x－2，－1x0，x－2，0x≤1，x2，x1.∴f(x)在x＝－1与x＝1处均取得最小值1，即f(x)min＝1.答案：13．解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，∴m2＋m为偶数，∴函数f(x)＝x21+mm(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且函数y＝f(x)在其定义域上为增函数．(2)∵函数f(x)经过点(2，2)，∴2＝221+mm，即212＝221+mm，∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.∴m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x12在[0，＋∞)上是增函数．由f(2－a)f(a－1)，得2－a≥0，a－1≥0，2－aa－1，解得1≤a32.故m的值为1，满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a32.