2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练45增长速度的比较Word版含解析

4.5增长速度的比较必备知识基础练进阶训练第一层知识点一函数的平均变化率1.已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．4B．0.41C．0.1D．4.412．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1B．－1C．2D．－23．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为()A．－3B．2C．3D．－24．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝1x中，平均变化率最大的是________.知识点二几类函数模型增长差异的比较5.四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x6．下列四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xn＞logaxC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax7．当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x＞x2＞log2xB．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x8．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A．6.3B．36.3C．3.3D．9.32．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定3．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝x，d：y＝2－xB．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝xC．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝x，d：y＝2－xD．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝x4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t25．(易错题)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x10D．y＝100·2x6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)二、填空题7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(探究题)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．三、解答题10．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法正确的是()A．前三年产量增长的速度越来越快B．前三年产量增长的速度越来越慢C．第三年后这种产品停止生产D．第三年后产量保持不变2．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝3x，h(x)＝lnx，这三个函数在区间[a，a＋1](a1)上的平均变化率的大小为________．3．(学科素养—数学抽象)如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，而函数fxx在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．求函数f(x)＝12x2－2x＋1区间的缓减区间．4．5增长速度的比较必备知识基础练1．解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.答案：B2．解析：ΔyΔx＝1－33－1＝－1.答案：B3．解析：根据平均变化率的定义，可知ΔyΔx＝2a＋b－a＋b2－1＝a＝3.答案：C4．解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11＋Δx＝－1013.∴k3k2k1k4.答案：③5．解析：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.故选D.答案：D6．解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．故选D.答案：D7．解析：解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x22xlog2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.答案：B8．解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．答案：y2关键能力综合练1．解析：S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率v－＝S3.3－S33.3－3＝1.890.3＝6.3.故选A.答案：A2．解析：k1＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＋Δx；k2＝fx0－fx0－ΔxΔx＝x20－x0－Δx2Δx＝2x0－Δx.因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．答案：D3．解析：a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.答案：C4．解析：由题干中的图像可知，该函数模型应为指数函数模型．答案：A5．解析：通过函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)，y＝kx(k0)的图像观察可得y＝ax的增长速度大于y＝kx的增长速度，y＝kx的增长速度大于y＝logax的增长速度，∴A，D最快．又∵y＝1100ex中底数e2.∴y＝1100ex的增长速度大于y＝100×2x，∴选A.答案：A6．解析：画出函数的图像，如图所示，当x∈(4，＋∞)，指数函数的图像位于二次函数图像上方，二次函数图像位于对数函数图像上方，故g(x)f(x)h(x)．答案：B7．解析：由题意有1＝0.5a＋b，1.5＝0.25a＋b，解得a＝－2，b＝2，∴y＝－2×0.5x＋2，∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．答案：1.758．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e2k，解得k＝2ln2，y(5)＝e(2ln2)·5＝e10ln2＝210＝1024(个)．答案：2ln210249．解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v－＝s0t0，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s2－s0s1－s0，t1－t00，所以s2－s0t1－t0s1－s0t1－t0，故③正确，④错误．答案：③10．解析：Δf1Δx＝24－222＝6，Δf2Δx＝42－222＝6，Δf3Δx＝34－322＝36.Δf4Δx＝43－232＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为Δf3ΔxΔf4ΔxΔf2Δx＝Δf1Δx.学科素养升级练1．解析：由t∈[0,3]的图像联想到幂函数y＝xa(0a1)．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图像可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以BC正确．答案：BC2．解析：因为ΔfΔx＝a＋12－a2a＋1－a＝2a＋1，ΔgΔx＝3a＋1－3aa＋1－a＝3，ΔhΔx＝lna＋1－lnaa＋1－a＝ln1＋1a，又因为a1，所以2a＋12×1＋1＝3，ln1＋1aln1＋11＝ln2lne＝13，因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．答案：f(x)g(x)h(x)3．解析：对于f(x)＝12x2－2x＋1，对称轴为x＝2，在区间(－∞，2]上是减函数．对于y＝fxx＝x2＋1x－2，令g(x)＝x2＋1x，所以g(x)为奇函数，令0x1x2，则g(x1)－g(x2)＝x12＋1x1－x22＋1x2＝12(x1－x2)＋1x1－1x2＝12(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)12－1x1x2＝(x1－x2)·x1x2－22x1x2，当x1，x2∈(0，2]上时，x1－x20，x1x2－20，所以g(x1)－g(x2)0，所以g(x1)g(x2)，g(x)为减函数．当x1，x2∈[2，＋∞)时，x1－x20，x1x2－20，所以g(x1)－g(x2)0，g(x)为增函数，又g(x)为奇函数，所以在[－2，0)上是减函数，在(－∞，－2]上是增函数，所以y＝fxx在(－∞，－2]和[2，2]上是增函数，故函数f(x)的缓减区间为(－∞，－2]和[2，2]．