2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练614数乘向量Word版含解析

6.1.4数乘向量必备知识基础练进阶训练第一层知识点一数乘向量的概念1.已知λ∈R，则下列结论正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝|λ|·|a|D．|λa|02．已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的有________(填序号)．①－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍；②3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的35；③－2a与2a是一对相反向量；④a－b与－(b－a)是一对相反向量.知识点二数乘运算的运算律3.下列计算正确的个数是()①(－5)·3a＝－15a；②3(a＋b)＝3a＋b；③(－4＋1)(a＋2a)＝－9a.A．0B．1C．2D．34．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：(1)a＝3e，b＝－6e；(2)a＝8e，b＝16e；(3)a＝23e，b＝－13e；(4)a＝34e，b＝－23e.知识点三数乘向量的应用5.如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是()A．相等B．共线C．不共线D．不能确定6．已知AB→＝－2e，AC→＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出ABAC.关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．3×8×－14a＝()A．－2aB．8aC．－6aD．4a2．已知a＝－34e，b＝23e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于()A．－12B．－98C．－89D．－23．下列说法中，正确的是()A．0a＝0B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反C．若b＝λa(a≠0)，则ba＝λD．若|b|＝|λa|(a≠0)，则|b||a|＝λ4．点C在线段AB上，且AC→＝35AB→，AC→＝λBC→，则λ为()A.23B.32C．－23D．－325．(易错题)若AB→＝3e1，CD→＝－5e1，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形6．已知A，B，C三点共线，且C为线段AB的靠近B的五等分点，则下列结论正确的个数为()①AB→＝5BC→；②|AC→|:|BC→|＝4:1；③BC→＝－15AB→.A．0B．1C．2D．3二、填空题7．若AP→＝13AB→，AB→＝λBP→，则实数λ的值为________．8．已知点C在线段AB上，且ACCB＝12，则AC→＝________AB→.9．(探究题)设P是△ABC所在平面内的一点，且CP→＝2PA→，则△PAB与△PBC的面积之比是________．三、解答题10．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示向量AC→.学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是()A．a∥bB．向量a，b方向相反C．|a|＝3|b|D．b＝－3a2．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA→－3OB→＋2OC→＝0，则AB→＝________BC→，|AB→||BC→|＝________.3．(学科素养—数据分析)已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍．(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的12.(3)－4a与4a是一对相反向量．(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线．6．1.4数乘向量必备知识基础练1．解析：当λ0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.答案：C2．解析：①∵－2＜0，∴－2a与a方向相反，两向量共线．又|－2a|＝2|a|，∴①正确．②∵3＞0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；∵5＞0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的35.∴②正确．③按照相反向量的定义可以判断正确．④∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等向量．∴④不正确．答案：①②③3．解析：因为(－5)·3a＝－15a，故①正确；3(a＋b)＝3a＋3b，故②错误；(－4＋1)(a＋2a)＝－3×3a＝－9a,故③正确．故选C.答案：C4．解析：(1)a＝3e＝－12×(－6)e，故a＝－12b.(2)a＝8e＝12×16e，故a＝12b.(3)a＝23e＝(－2)×－13e，故a＝－2b.(4)a＝34e＝－98×－23e，故a＝－98b.5．解析：∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反．答案：B6．解析：由AB→＝－2e，得e＝－12AB→，由AC→＝3e，得e＝13AC→，故－12AB→＝13AC→，∴AC→＝－32AB→.即AB→与AC→平行，又AB与AC有公共点A，∴A，B，C三点共线，又|AC→|＝32|AB→|，∴AB:AC＝2:3.关键能力综合练1．解析：3×8×－14a＝24×－14a＝－6a，故选C.答案：C2．解析：由a＝－34e，得e＝－43a，故b＝23e＝23×－43a＝－89a，所以λ＝－89.故选C.答案：C3．解析：A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，|b||a|应等于|λ|.故选B.答案：B4．解析：由题意知CB→＝25AB→，即AB→＝－52BC→，所以AC→＝35×－52BC→＝－32BC→，故λ＝－32.答案：D5．解析：∵AB→＝3e1，CD→＝－5e1，∴CD→＝－53AB→，∴AB→与CD→平行，且|CD→|＝53|AB→|，又|AD→|＝|BC→|，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.答案：C6．解析：由题意知，AB→＝－5BC→，BC→＝－15AB→，|AC→BC→|＝，所以②③正确．故选C.答案：C7．解析：AP→＝13AB→，如图．结合图形可知AB→＝－32BP→.故λ＝－32.答案：－328．解析：如图，因为ACCB＝12，且点C在线段AB上，则AC→与CB→同向，且|AC→|＝12|CB→|，故AC→＝13AB→.答案：139．解析：画出图形如图所示．∵CP→＝2PA→，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．又△PAB与△PBC的底边长之比为|PA→|:|CP→|＝1:2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1:2.答案：1:210．解析：因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以AB→＝3DC→，DC→＝13AB→＝13a，所以AC→＝AD→＋DC→＝b＋13a.学科素养升级练1．解析：因为b＝－6e＝－3(2e)＝－3a，所以a∥b，且a，b方向相反，且3|a|＝|b|，故C错误，ABD正确，故选ABD.答案：ABD2．解析：因为OA→－3OB→＋2OC→＝0，所以OB→－OA→＝2(OC→－OB→)，所以AB→＝2BC→，所以|AB→||BC→|＝2.答案：223．解析：(1)真命题．因为20，所以2a与a同向．因为|2a|＝2|a|，所以2a的模是a的模的2倍．(2)真命题．因为－30，所以－3a与a方向相反且|－3a|＝3|a|.又因为60，所以6a与a方向相同且|6a|＝6|a|，所以－3a与6a方向相反且模是6a的模的12.(3)真命题．由数乘定义和相反向量定义可知．(4)假命题．因为a－b与b－a是相反向量，所以a－b与－(b－a)是相等向量．(5)假命题.0·a＝0，所以0·a与b共线．