2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练623平面向量的坐标及其运算Word版含解析

6.2.3平面向量的坐标及其运算必备知识基础练进阶训练第一层知识点一平面向量的坐标1.在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA→＝2i＋3j；②OB→＝3i＋4j；③AB→＝－5i＋j；④BA→＝5i－j.2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.知识点二平面上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7)D．(1,3)4．设AB→＝(2,3)，BC→＝(m，n)，CD→＝(－1,4)，则DA→等于()A．(1＋m,7＋n)B．(－1－m，－7－n)C．(1－m,7－n)D．(－1＋m，－7＋n)知识点三两点之间的距离公式与中点坐标公式5.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则mn＝________，|na＋mb|＝________.6．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．(1)求点C的坐标；(2)求△ABC的三边长．知识点四向量平行的坐标表示7.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是()A．(4,8)B．(8,4)C．(－4，－8)D．(－4,8)8．已知A，B，C三点共线，BA→＝－38AC→，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，(1)若u∥v，求实数x的值；(2)若a，v不共线，求实数x的值．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为()A．6B．－6C.83D．－832．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是()A．－112B.112C．－292D.2923．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且M1M→＝－2MM2→，则点M的坐标为()A．(3,8)B．(1,3)C．(3,1)D．(－3，－1)4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为()A．(－2,11)B.43，3C.23，3D．(－2,12)5．(易错题)设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()A．b＝(k，k)B．c＝(－k，－k)C．d＝(k2＋1，k2＋1)D．e＝(k2－1，k2－1)6．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与AB→平行且方向相反的向量a可能是()A．a＝(1，－2)B．a＝(9,3)C．a＝(－1,2)D．a＝(－4，－8)二、填空题7．如图，正方形ABCD中，O为中心，且OA→＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：OB→＝________，OC→＝________，AB→＝________，AC→＝________.8．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．9．(探究题)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，λ∈R，则x＝________.三、解答题10．已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求y与λ的值．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k不能取的值是()A．k＝－2B．k＝12C．k＝1D．k＝－12．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)3．(学科素养—数学建模)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BFFC＝，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．6．2.3平面向量的坐标及其运算必备知识基础练1．解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i＋3j，OB→＝－3i＋4j，AB→＝OB→－OA→＝－5i＋j，BA→＝OA→－OB→＝5i－j，故①③④正确．答案：①③④2．解析：将各向量向基底所在直线分解．a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．答案：(－4,0)(0,6)(－2，－5)3．解析：a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．答案：A4．解析：DA→＝DC→＋CB→＋BA→＝－CD→－BC→－AB→＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)＝(－1－m，－7－n)．答案：B5．解析：ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．∴2m－n＝4，3m＋2n＝－1，解得m＝1，n＝－2，∴mn＝－12.na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝－52＋－42＝25＋16＝41.答案：－12416．解析：(1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得3＋x2＝0，y＋52＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．(2)当C点坐标为(－3，－5)时，AB＝－2－32＋5－72＝29，AC＝－3－32＋－5－72＝65，BC＝－3＋22＋－5－52＝101.当C点坐标为(2，－7)时，AB＝29，AC＝2－32＋－7－72＝197，BC＝2＋22＋－7－52＝410.7．解析：∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D.答案：D8．解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，BA→＝－38AC→，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－38(y－2)．∴y＝10.答案：109．解析：(1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.关键能力综合练1．解析：∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.答案：A2．解析：a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故－2＝4λ，7＝xλ，解得λ＝－12，x＝－14，则λ＋x＝－292.答案：C3．解析：设M(x，y)，则M1M→＝(x－1，y－5)，MM2→＝(2－x,3－y)，由M1M→＝－2MM2→，得x－1＝－22－x，y－5＝－23－y.解得x＝3，y＝1，故点M的坐标为(3,1)．答案：C4．解析：因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，所以MP→＝2NP→，则OP→－OM→＝2(OP→－ON→)，所以OP→＝2ON→－OM→＝2(0,5)－(2，－1)，即OP→＝(－2,11)．答案：A5．解析：易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行；若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0.显然k不存在．故a不平行于d，当k＝±1时，e＝0与a平行．答案：C6．解析：AB→＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．答案：D7．解析：如题图所示，OA→＝(1,1)＝i＋j，∴OE→＝i，EA→＝j.∴OF→＝－OE→＝－i，FB→＝EA→＝j，FC→＝－FB→＝－j.∴OB→＝OF→＋FB→＝－i＋j；OC→＝OF→＋FC→＝－i－j；AB→＝OB→－OA→＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.同理，BC→＝OC→－OB→＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，AC→＝AB→＋BC→＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.答案：－i＋j－i－j－2i－2i－2j8．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB→＝(x－1，y－2)＝b.由－2λ＝x－1，3λ＝y－2⇒x＝1－2λ，y＝3λ＋2.又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B0，72或73，0.答案：0，72或73，09．解析：取O(0,0)，由OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴x＝－λ＋1－λ，5＝－λ＋31－λ.解得λ＝－12，x＝2.答案：210．解析：(1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．∴x1＋1＝4，y1＋2＝3，∴x1＝3，y1＝1.∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，∴点M的坐标为－12，－1.(2)由已知得PB→＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB→＝λBD→，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，即1＝－7λ，1－y＝－4λ，∴λ＝－17，y＝37.学科素养升级练1．解析：由题意可知，A，B，C三点不共线．若A，B，C三点共线，则AB→∥AC→，又AB→＝OB→－OA→＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.所以选ABD.答案：ABD2．解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴－x＋y＝2，x＋2y＝4，解得x＝0，y＝2，∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．答案：D3．解析：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)．由E为AB的中点，则E(3,0)，由BF:FC＝2:1，∴F(6,4)．设P(x，y)，则AP→＝(x，y)．∵AP→与AF→共线，∴4x＝6y即y＝23x.①∵EP→＝(x－3，y)，EC→＝(3,6)，EP→与EC→共线，∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②由①②得x＝92，y＝3，即P92，3.由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，＝6×6－12×6×4－12×2×6－92＝452.∴四边形APCD的面积为452.