2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练63平面向量线性运算的应用Word版含解析

6.3平面向量线性运算的应用必备知识基础练进阶训练第一层知识点一向量在平面几何中的应用1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A.2，72B.2，－12C．(3,2)D．(1,3)2．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．25B.552C．35D.7523．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．求证：x0＝x1＋x2＋x33，y0＝y1＋y2＋y33.知识点二向量在物理中的应用5.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.v1v26．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)7．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4km/h，则水流速度的大小为________km/h.8．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，判断△ABC的形状．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．在四边形ABCD中，若AD→＝13BC→，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．梯形C．矩形D．菱形2．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.344．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为()A．2B．3C．4D．85．O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO→＝13AB→＋13AC→，则∠BAC等于()A．30°B．45°C．60°D．90°6．(易错题)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→＝15AC→＋25AB→，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|BC→|＝4，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝________.9．(探究题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题10．已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．|a|＝1C．a∥bD．(4a＋b)⊥BC→2．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速率为________m/s.3．(学科素养—数学建模)在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?6．3平面向量线性运算的应用必备知识基础练1．解析：设D(x，y)，则BC→＝(4,3)，AD→＝(x，y－2)，由BC→＝2AD→得4＝2x，3＝2y－2，∴x＝2，y＝72.∴顶点D的坐标为2，72.答案：A2．解析：BC的中点为D32，6，AD→＝－52，5，∴|AD→|＝552.答案：B3．解析：因为|OB→－OC→|＝|CB→|＝|AB→－AC→|，|OB→＋OC→－2OA→|＝|AB→＋AC→|，所以|AB→－AC→|＝|AB→＋AC→|，则AB→·AC→＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B.答案：B4．证明：设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝x1＋x32，y4＝y1＋y32.由平面几何的知识，得BG→＝2GD→，∴x0＝x2＋2x41＋2＝x2＋2x1＋x321＋2＝x1＋x2＋x33，y0＝y2＋2y41＋2＝y2＋2y1＋y321＋2＝y1＋y2＋y33.5．解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．答案：B6．解析：∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故选D.答案：D7．解析：如右图所示，AD→表示船速，AB→表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则AC→表示船的实际航行速度．在Rt△ABC中，|BC→|＝|AD→|＝23，|AC→|＝4，∴|AB→|＝2.答案：28．解析：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．因为PD→＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.同理，∠APB＝∠BPC＝120°.又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．关键能力综合练1．解析：由AD→＝13BC→，可知AD∥BC，且|AD→||BC→|，故四边形ABCD是梯形．答案：B2．解析：作OA→＝F1，OB→＝F2，OC→＝－G(图略)，则OC→＝OA→＋OB→，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.答案：D3．解析：由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.答案：C4．解析：∵|v|＝12＋22＝5，|AB→|＝7－42＋12－62＝45，∴时间t＝455＝3.答案：B5．解析：取BC的中点D，连接AD，则AB→＋AC→＝2AD→.由题意得3AO→＝2AD→，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.答案：C6．解析：因为AB→|AB→|是向量AB→方向上的单位向量，设AB→与AC→方向上的单位向量分别为e1和e2，又OP→－OA→＝AP→，则原式可化为AP→＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC.故选B.答案：B7.解析：由题意，得5AP→＝AC→＋2AB→，得2AP→－2AB→＝AC→－AP→－2AP→，得－2(PA→＋PB→)＝PC→，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC→＝2EP→＝4OP→.所以S△APBS△APC＝2S△APOS△APC＝2|OP||PC|＝12.答案：1:28．解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法的几何意义可知，AD→＝AB→＋AC→，CB→＝AB→－AC→，∵|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，∴|AD→|＝|CB→|，又|BC→|＝4，M是线段BC的中点，∴|AM→|＝12|AD→|＝12|BC→|＝2.答案：29．解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ0θπ2.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝|f|cosθ.∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．设船的浮力为F浮，则|F浮|＋|F|sinθ＝|mg|，∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．答案：①③10．证明：证法一：如图1，首先建立直角坐标系．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则有AB→＝(x2－x1，y2－y1)，DC→＝(x3－x4，y3－y4)．∴12(AB→＋DC→)＝x2－x1＋x3－x42，y2－y1＋y3－y42.又∵E，F分别是AD，BC的中点，∴Ex1＋x42，y1＋y42，Fx2＋x32，y2＋y32，∴EF→＝x2＋x3－x1－x42，y2＋y3－y1－y42，∴EF→＝12(AB→＋DC→)．证法二：如图2，EF→＝ED→＋DC→＋CF→，①EF→＝EA→＋AB→＋BF→，②向量相加得，2EF→＝DC→＋AB→，∴EF→＝12(DC→＋AB→)．学科素养升级练1．解析：如图，由题意，BC→＝AC→－AB→＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，故A错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为AB→＝2a，BC→＝b，故a，b不平行，故C错误；设B，C中点为D，则AB→＋AC→＝2AD→，且AD→⊥BC→，而2AD→＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥BC→，故D正确．故选B、D.答案：BD2．解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝|v2|32＝8033(m/s)．答案：80333．解析：以B为原点，BC边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)．则AC→＝(3，－4)，由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．所以AM→＝13AC→＝1，－43，于是M4，83，所以BM→＝4，83，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，则设BP→＝λBM→，且0λ1，即BP→＝λ4，83＝4λ，83λ，所以CP→＝CB→＋BP→＝(－6,0)＋4λ，83λ＝4λ－6，83λ.由于PC⊥BM，所以83λ×83＋(4λ－6)×4＝0，λ＝2726∉(0,1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.