新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件643第1课时余弦定理

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论.(逻辑推理)2．能用余弦定理解三角形.(数学运算)1．进一步感受向量三角形法则与数量积运算的价值，体会向量数量积运算在解决长度问题中的特点.2．通过特殊化与一般化感受勾股定理与余弦定理的关系，并加深对勾股定理的理解.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）余弦定理知识点1文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_______这两边与它们的夹角的余弦的积的_____倍符号语言在△ABC中，a2＝___________________，b2＝___________________，c2＝___________________推论在△ABC中，cosA＝________，cosB＝________，cosC＝_________减去两b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_______.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___________.解三角形知识点2元素解三角形返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[微提醒](1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形.(2)余弦定理和勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[分析](1)由余弦定理可直接求第三边；(2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长.题型探究题型一已知两边及一角解三角形典例1(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝603cm，A＝π6，则a＝_____cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝_______.604或5返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由余弦定理得：a＝602＋6032－2×60×603×cosπ6＝4×602－3×602＝60(cm).(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．217C．62D．219(2)在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形.D返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，c＝219.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）在△ABC中，a︰b︰c＝3︰5︰7，求其最大内角.[分析]由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解.题型二已知三边解三角形典例2[解析]由于a︰b︰c＝3︰5︰7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0).因此c是最大边，其所对角C为最大内角.由余弦定理推论得：cosC＝a2＋b2－c22ab＝9k2＋25k2－49k22·3k·5k＝－12，∵0°C180°，∴C＝120°，即最大内角为120°.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(1)(2020·全国Ⅲ卷理)在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，则cosB＝()A．19B．13C．12D．23(2)在△ABC中，(b＋c)︰(c＋a)︰(a＋b)＝4︰5︰6，则此三角形的最大内角为________.A120°返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[解析](1)∵在△ABC中，cosC＝23，AC＝4，BC＝3，根据余弦定理：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，AB2＝42＋32－2×4×3×23，可得AB2＝9，即AB＝3，由∵cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝9＋9－162×3×3＝19，故cosB＝19.故选A．(2)由(b＋c)︰(c＋a)︰(a＋b)＝4︰5︰6，得a︰b︰c＝7︰5︰3，∴边a最大.又cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状.[分析]思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系.[解析]已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形.题型三判断三角形的形状典例3返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状.[解析]由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．根据勾股定理知△ABC是直角三角形.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.易错警示典例4忽略三角形三边关系导致出错[错解]∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12，∴2a＋1是三边长中最长的边，设其所对角为θ，返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，∴cosθ0，即a2＋2a－12－2a＋122a2a－1＝aa－82a2a－10，解得12a8，∴a的取值范围是(12，8).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[错因分析]解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大，本题中a＋(2a－1)2a＋1，即a2，而不是a12.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[正解]∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12，此时2a＋1最大.要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)2a＋1，解得a2．返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）设最长边2a＋1所对的角为θ，则cosθ＝a2＋2a－12－2a＋122a2a－1＝aa－82a2a－10，解得12a8．∴a的取值范围是(2,8).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）[名师点津]由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误.在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形.返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❹在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围.[解析]因为a，b，c是△ABC的三边，所以b－aca＋b，所以2－1t1＋2＝3，所以1t3．又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，所以90°C180°.所以cosC0，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝5－t240，所以t25．又t0，所以t5.所以t的取值范围为(5，3).返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）课堂检测·固双基返回导航第六章平面向量及其应用数学（必修·第二册RJA）素养作业·提技能