新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件832圆柱圆锥圆台球的表面积和体积

第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)1．求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.2．球心和球的半径是球的“灵魂”.3．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）圆柱、圆锥、圆台的表面积知识点1图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝_______侧面积：S侧＝_______表面积：S＝____________2πr22πrl2πr(r＋l)返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）图形表面积公式圆锥底面积：S底＝______侧面积：S侧＝______表面积：S＝___________旋转体圆台上底面面积：S上底＝________下底面面积：S下底＝______侧面积：S侧＝______________表面积：S＝_____________________πr2πrlπr(r＋l)πr′2πr2π(r′l＋rl)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）圆柱、圆锥、圆台的体积知识点2几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝_______圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝13Sh＝_________圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝_______________________圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为hπr2h13πr2h13π(r2＋rr′＋r′2)h返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）1．球的表面积公式S＝_______(R为球的半径).2．球的体积公式V＝__________.球的表面积和体积公式知识点34πR243πR3返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl.2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V＝Sh――→S′＝SV＝13(S′＋S′S＋S)h――→S′＝0V＝13Sh.(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）3．与球的体积、表面积有关的问题(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系S球＝4πR2V球＝43πR3从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数.(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）题型探究题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积典例1(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10πB返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为_____.(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4，若母线长为10，则圆台的表面积为_______.2π168π[解析](1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋R－r2＝4r2＋3r2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶(1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为______.(3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是____.74πS1返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7．(2)设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝Sπ，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·Sπ＝4πS.(3)设圆锥底面半径为r，母线长为l，则π×r×l＝2π2×π×r＝12×2×π×l，解得r＝1，l＝2．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）题型二圆柱、圆锥、圆台的体积典例2(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是()A．64π3B．128π3C．64πD．1282πA返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A．5πB．6πC．20πD．10π(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是______.D733π返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝l2＋l2，即l＝2r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝2πr2＝162π，∴r＝4．∴l＝42，高h＝l2－r2＝4．∴圆锥的体积V＝13Sh＝13π×42×4＝643π，故选A．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.(3)设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝3，∴V＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷(1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是______.(2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是___________cm.12π123－π2返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)易知圆锥的高h＝4，所以V圆锥＝13π×32×4＝12π.(2)正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π122·2＝π2，所求几何体体积为123－π2.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）题型三球的体积与表面积典例3(1)球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC．16π3D．64π3(2)一平面截一球得到直径为25cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是()A．12πcm3B．36πcm3C．646πcm3D．108πcm3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_____.BB4π3返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)设球的半径为R，则由已知得43πR3＝32π3，解得R＝2．故球的表面积S表＝4πR2＝16π.(2)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.在Rt△OO1A中，O1A＝5cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝22＋52＝3(cm)，∴球的体积V＝43×π×33＝36π(cm3).(3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为4π3.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(1)(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB．24πC．36πD．144π(2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为_______.C100π返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即R＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.故选C．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.易错警示典例4找错内切球截面致错返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[错解]设正方体的棱长为a，则有6a2＝54，解得a＝3或a＝－3(舍去).∴正方体的面对角线长d＝32＋32＝32，∴球的半径R＝12d＝322