新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课件863第1课时平面与平面垂直的判定

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标·定方向返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）素养目标学法指导1．通过直观感知，归纳出平面与平面的判定定理.(直观想象)2．会用平面与平面的判定定理证明平面与平面垂直.(逻辑推理)1．平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从二面角的平面角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证.2．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）必备知识·探新知返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）二面角的概念知识点1定义从一条直线出发的_____________所组成的图形相关概念①这条直线叫做二面角的_____；②这两个半平面叫做二面角的_____画法记法二面角__________或___________或__________或P－AB－Q两个半平面棱面α－l－βα－AB－βP－l－Q返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）二面角的平面角在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作_________棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的________叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是________________垂直于∠AOB0°≤α≤180°返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）面面垂直的定义知识点2定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：_______画法画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成_______直二面角α⊥β垂直返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[知识解读]1．二面角与平面几何中的角的对比平面几何中的角二面角图形定义从平面内一点出发的两条射线组成的图形从一条直线出发的两个半平面组成的图形表示法由射线—点(顶点)—射线构成，即为∠AOB由半平面—线(棱)—半平面构成，记为二面角α－l－β意义定量的反映两条直线的位置关系定量的反映两个平面的位置关系返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．剖析平面与平面垂直(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的.(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的.3．详解平面与平面垂直的判定定理(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）关键能力·攻重难返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②题型探究题型一二面角及其平面角的概念的理解典例1B返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B．[归纳提升]1．要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.3．可利用实物模型，作图帮助判断.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❶若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定[解析]如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定.D返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数.[分析]求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解.题型二求二面角的大小典例2返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.(4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a，所以PB＝2a，PC＝3a，所以BE＝PB·BCPC＝63a，BD＝2a.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）所以sin∠BEO＝BOBE＝22a63a＝32.因为∠BEO∈(0°，90°)，所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]1．求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角.方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角.方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❷如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析]取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）设正方体的棱长为a，则OB1＝22a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝BB1OB1＝a22a＝2，所以二面角B－A1C1－B1的正切值为2.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）题型三平面与平面垂直的证明典例3如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD.(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[分析](1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论.(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[证明](1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝2a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABC.因为PD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[归纳提升]证明平面与平面垂直的方法：(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角.(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）【对点练习】❸(1)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.(2)如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）[解析](1)由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）(2)证明：取BD的中点E，连接AE，CE.因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以AE⊥BD，CE⊥BD，即∠AEC为二面角A－BD－C的平面角，在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，所以AE＝AB2－BE2＝22a，同理，CE＝22a.返回导航第八章立体几何初步数学（必修·第二册RJA）在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，故AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°，所以二面角A－BD－C的平面角为90°，所以平面ABD⊥平面BCD.返回导航第八章立体几何初步