新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业635平面向量数量积的坐标表示Word版含解析

第六章6.36.3.5A组·素养自测一、选择题1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则AB→·AC→等于(B)A．－1B．0C．1D．2[解析]∵AB→＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，AC→＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0．2．(多选)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(AC)A．－1＋3B．－2C．－1－3D．1[解析]∵|ka－b|＝k2＋k＋22，|a＋b|＝12＋－12＝2，∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos120°＝ka－b·a＋b|ka－b||a＋b|，即－12＝－22×k2＋k＋22，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±3.3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝(C)A．43B．－43C．34D．－34[解析]由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，而ka＋b＝(2－k,3k－1)，a－2b＝(－5,5)，故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝34.4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n).若2a－b与b垂直，则|a|＝(C)A．1B．2C．2D．4[解析]由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0．故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3．所以，|a|＝1＋n2＝1＋3＝2．5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于(C)A．5B．10C．5D．25[解析]∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5．6．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝__－210__.[解析]∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝－82＋62＝10．∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.二、填空题7．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__2__.[解析]因为a＋b＝(－1，3)，所以|a＋b|＝－12＋32＝2．8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝π4，则x＝__1__.[解析]cosπ4＝3x＋210×x2＋4，解得x＝1或x＝－4(舍).三、解答题9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值.[解析]ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4).又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0．即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．10．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角.[解析](1)∵AB→＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC→＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB→·AC→＝3×(－1)＋3×6＝15．又|AB→|＝32＋32＝32，|AC→|＝－12＋62＝37，∴cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝1532×37＝57474.(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝52.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－153×52＝－22.又0≤θ≤π，∴θ＝3π4.B组·素养提升一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(D)A．(79，73)B．(－73，－79)C．(73，79)D．(－79，－73)[解析]不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n).又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－79，n＝－73，故选D．2．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tanα＝－2，则OP→与OQ→夹角的余弦值为(C)A．－55B．11525C．55或－55D．11525或1155[解析]∵tanα＝－2，∴可设P(x，－2x)，cos〈OP→，OQ→〉＝OP→·OQ→|OP→|·|OQ→|＝5x55|x|，当x0时，cos〈OP→，OQ→〉＝55，当x0时，cos〈OP→，OQ→〉＝－55.3．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(B)A．5B．10C．25D．10[解析]由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝2＋12＋1－22＝10.4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈π2，π，则向量a、b的夹角为(A)A．3π2－θB．θ－π2C．π2＋θD．θ[解析]由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上(∵π2θπ)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为3π2－θ.二、填空题5．已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__2__.[解析]∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝12，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝12t＋(1－t)＝1－12t＝0，∴t＝2．6．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为__45__.[解析]法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD→＝1，12，OE→＝12，1.故cos∠DOE＝OD→·OE→|OD→||OE→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋12OC→，OE→＝OC→＋CE→＝OC→＋12OA→，∴|OD→|＝52，|OE→|＝52，OD→·OE→＝12OA→2＋12OC→2＝1，∴cos∠DOE＝OD→·OE→|OD→||OE→|＝45.三、解答题7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2).(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.[解析](1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20．由c∥a和|c|＝25，可得1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4或x＝－2，y＝－4.故c＝(2,4)或c＝(－2，－4).(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×54＝0，整理得a·b＝－52，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1．又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3).(1)判断△ABC的形状；(2)设O为坐标原点，OD→＝mOC→(m∈R)，且(AB→－mOC→)∥BC→，求|OD→|.[解析](1)由两点间的距离公式，得|AB|＝|AC|＝5.∵AB→＝(－2，－1)，AC→＝(－1,2)，∴AB→·AC→＝2－2＝0，即AB⊥AC.∴△ABC为等腰直角三角形.(2)由题可知OC→＝(2,3)，BC→＝(1,3)，则AB→－mOC→＝(－2－2m，－1－3m).又(AB→－mOC→)∥BC→，则有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－53，由两点间的距离公式，得|OC|＝13.∴|OC→|＝13.∴|OD→|＝|m|·|OC→|＝5133.