新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业722复数的乘除运算Word版含解析

第七章7.27.2.2A组·素养自测一、选择题1．(2020·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若z1＋i＝2－i成立，则点P(a，b)在(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵z1＋i＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限.2．设复数z满足1－z1＋z＝i，则|1＋z|＝(C)A．0B．1C．2D．2[解析]因为1－z1＋z＝i，所以z＝1－i1＋i，所以z＋1＝1－i1＋i＋1＝21＋i＝1－i，所以|z＋1|＝2.3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2等于(C)A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i[解析]2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.4．若复数a＋3i1＋2i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(C)A．－2B．4C．－6D．6[解析]∵a＋3i1＋2i＝a＋3i1－2i1＋2i1－2i＝a＋6＋3－2ai5为纯虚数，∴a＋6＝0，3－2a≠0.∴a＝－6．5．(2019·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝(D)A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i[解析]由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2i1－i2＝i(1－i)＝1＋i.故选D．二、填空题6．(2020·浦东新区一模)已知i是虚数单位，复数z满足z·(1＋3i)，则|z|＝__12__.[解析]∵复数z满足z·(1＋3i)＝1，∴z(1＋3i)(1－3i)＝1－3i，化为4z＝1－3i，即z＝14－34i，∴|z|＝142＋－342＝12.故答案为12.7．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝__5__.[解析]∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝3－i1－i＝3－i1＋i1－i1＋i＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝z－1＝2－i，∴|z2|＝5.8．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝__92__.[解析]将x＝1＋2i代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即(－3－m＋2n)＋(4－2m)i＝0．由复数相等的充要条件，得－3－m＋2n＝0，4－2m＝0.解得n＝52，m＝2.故m＋n＝2＋52＝92.三、解答题9．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1＋i1－i6＋2＋3i3－2i.[解析](1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.(3)1＋i1－i6＋2＋3i3－2i＝1＋i226＋i3－2i3－2i＝i6＋i＝－1＋i.10．设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；(2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R).试求a的取值范围.[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.由复数相等的定义得，x2＋y2－2y＝8，①2x＝a，②由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x0，y0，∴－3≤x0，∴－6≤a＜0．B组·素养提升一、选择题1．若z＝4＋3i，则z|z|＝(D)A．1B．－1C．45＋35iD．45－35i[解析]|z|＝42＋32＝5，z＝4－3i，则z|z|＝45－35i.2．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(C)A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅[解析]A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i,1}.∴A∩B＝{－1,1}.故选C．3．(2020·长安一中质检)设z＝12＋32i(i是虚数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝(C)A．6zB．6z2C．6z－D．－6z[解析]z2＝－12＋32i，z3＝－1，z4＝－12－32i，z5＝12－32i，z6＝1，∴原式＝(12＋32i)＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋(52－532i)＋6＝3－33i＝6(12－32i)＝6z－.4．(多选)设f(n)＝1＋i1－in＋1－i1＋in(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}的元素有(ABC)A．2B．0C．－2D．1[解析]f(n)＝in＋(－i)n，当n＝4k(k∈N)时，f(n)＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，f(n)＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，f(n)＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，f(n)＝0．所以集合中共有－2,0,2这3个元素.二、填空题5．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是__－2__.[解析](1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2．6．(2020·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝__1__.[解析]因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝4＋3i3－4i＝4＋3i3＋4i3－4i3＋4i＝25i25＝i.则|z|＝1．三、解答题7．已知z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1．(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.(2)若ω＝1－z11＋z1，求证：ω为纯虚数.[解析]设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0).(1)z2＝z1＋1z1＝a＋bi＋1a＋bi＝(a＋aa2＋b2)＋(b－ba2＋b2)i.因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－12≤a≤12，即z1的实部的取值范围是[－12，12].(2)ω＝1－z11＋z1＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi1＋a2＋b2＝－ba＋1i.因为a∈[－12，12]，b≠0．所以ω为纯虚数.8．已知z为复数，z＋2i和z2－i均为实数，其中i是虚数单位.(1)求复数z和|z|；(2)若复数z1＝z＋1m－1－7m＋2i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.[解析](1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2．又z2－i＝a＋bi2－i＝a＋bi2＋i5＝2a－b5＋a＋2b5i为实数，所以a＋2b5＝0，所以a＝－2b.又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，所以|z|＝42＋－22＝25.(2)z1＝z＋1m－1－7m＋2i＝4＋1m－1＋(2－7m＋2)i＝4m－3m－1＋2m－3m＋2i.因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，所以4m－3m－102m－3m＋20，解得－2m34或1m32，所以实数m的取值范围为(－2，34)∪(1，32).