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第八章8.58.5.3A组·素养自测一、选择题1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面BA1C1与直线AC的位置关系是(A)A.AC∥截面BA1C1B.AC与截面BA1C1相交C.AC在截面BA1C1内D.以上答案都错误[解析]∵AC∥A1C1,又∵AC⊄面BA1C1,∴AC∥面BA1C1.2.下列结论正确的是(C)①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行;④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.A.①③B.②④C.③④D.②③④[解析]如果两个平面没有任何一个公共点,那么我们就说这两个平面平行,也即是两个平面没有任何公共直线.对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,如果这两条直线不相交,而是平行,那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在.对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行,同①.对于③:一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义.对于④:一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理.所以只有③④正确,选择C.3.已知直线l、m,平面α、β,下列结论正确的是(D)A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥βC.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β[解析]如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.4.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是(B)A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能[解析]∵A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1,∴DE∥AB.5.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′,若PA′︰AA′=2︰3,则△A′B′C′与△ABC面积的比为(D)A.2︰5B.3︰8C.4︰9D.4︰25[解析]∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩α=A′B′,平面PAB∩平面ABC=AB,∴A′B′∥AB.又∵PA′︰AA′=2︰3,∴A′B′︰AB=PA′︰PA=2︰5.同理B′C′︰BC=A′C′︰AC=2︰5.∴△A′B′C′与△ABC相似,∴S△A′B′C′︰S△ABC=4︰25.二、填空题6.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”).[解析]假若α∩β=l,则在平面α内,与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a.故α∥β.7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,则MNAC=__12__.[解析]∵平面MNE∥平面ACB1,由面面平行的性质定理可得EN∥B1C,EM∥B1A,又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点,∴MN=12AC,即MNAC=12.8.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B、C、D∈a,线段AB、AC、AD分别交平面α于E、F、G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=__209__.[解析]∵a∥α,α∩平面ABD=EG,∴a∥EG,即BD∥EG,∴EGBD=AFAF+FC,则EG=AF·BDAF+FC=5×45+4=209.三、解答题9.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证:平面AFH∥平面PCE.[解析]因为F为CD的中点,H为PD的中点,所以FH∥PC,所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE=CF,所以四边形AECF为平行四边形,所以AF∥CE,所以AF∥平面PCE.由FH⊂平面AFH,AF⊂平面AFH,FH∩AF=F,所以平面AFH∥平面PCE.10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?[解析]当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.而QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,∴QB∥平面PAO.连接DB,∵P、O分别为DD1,DB的中点,∴PO为△DBD1的中位线,∴D1B∥PO.而D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.B组·素养提升一、选择题1.a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个结论.①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;③α∥c,β∥c⇒α∥β;④α∥γ,β∥γ⇒α∥β;⑤α∥c,a∥c⇒α∥a;⑥a∥γ,α∥γ⇒α∥a.其中正确的结论是(C)A.①②③B.①④⑤C.①④D.①③④[解析]①平行公理.②两直线同时平行于一平面,这两条直线可相交、平行或异面.③两平面同时平行于一直线,这两个平面相交或平行.④面面平行传递性.⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平面或平行或直线在平面内.⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这条直线和平面可平行也可能直线在平面内.故①④正确.2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M作正方体的截面,则这个截面的面积为(B)A.352B.92C.98D.358[解析]取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1,由于截面被平行平面所截,所以截面为梯形,且MN=12BC1=2,MC1=BN=5,所以梯形的高为32,所以梯形的面积为12(2+22)×32=92.3.已知正方体ABCD-A′B′C′D′,点E,F,G,H分别是棱AD,BB′,B′C′,DD′的中点,从中任取两点确定的直线中,与平面AB′D′平行的条数是(D)A.0B.2C.4D.6[解析]连接EG,EH,EF,FG,GH,∵EH∥FG且EH=FG,∴四边形EFGH为平行四边形,∴E,F,G,H四点共面.由EG∥AB′,EH∥AD′,EG∩EH=E,AB′∩AD′=A,EG⊂平面EFGH,EH⊂平面EFGH,AB′⊂平面AB′D′,AD′⊂平面AB′D′,可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件.故选D.4.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=1,则当E,F移动时,下列结论正确的是(ACD)A.AE∥平面C1BDB.四面体ACEF的体积不为定值C.三棱锥A-BEF的体积为定值D.四面体ACDF的体积为定值[解析]对于A,如图1,AB1∥DC1,易证AB1∥平面C1BD,同理AD1∥平面C1BD,且AB1∩AD1=A,所以平面AB1D1∥平面C1BD,又AE⊂平面AB1D1,所以AE∥平面C1BD,A正确;对于B,如图2,S△AEF=12EF·h1=12×1×32+3222=364,点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值,所以VA-CEF=VC-AEF=13×364×d=64d为定值,所以B错误;对于C,如图3,S△BEF=12×1×3=32,点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值,所以VA-BEF=13×32×d=12d为定值,C正确;对于D,如图4,四面体ACDF的体积为VA-CDF=VF-ACD=13×12×3×3×3=92为定值,D正确.故选ACD.二、填空题5.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有__①②③__.(填序号)[解析]把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.∵AB∥CD,∴AB∥平面PCD.同理平面BC∥PAD.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足__点M在FH上__时,有MN∥平面B1BDD1.[解析]∵FH∥BB1,HN∥BD,FH∩HN=H,∴平面FHN∥平面B1BDD1,又平面FHN∩平面EFGH=FH,∴当M∈FH时,MN⊂平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.三、解答题7.如图所示,P为□ABCD所在平面外一点,点M、N分别为AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.(1)求证:BC∥l;(2)MN与平面PAD是否平行?证明你的结论.[解析](1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD.又因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD=l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.证明如下:如图所示,取PD的中点E,连接NE、AE,所以NE∥CD,NE=12CD.而CDAB,M为AB的中点,所以NE∥AM,NE=AM,所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE.又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.8.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.[解析]因为BE∥AA1,AA1⊂平面AA1D,BE⊄平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD,AD⊂平面AA1D,BC⊄平面AA1D,所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.
本文标题:新教材2021学年高中人教A版数学必修第2册课堂作业853平面与平面平行Word版含解析
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