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第4课时余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题核心互动探究探究点一计算高度【典例1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.【思维导引】画出空间图形和平面图形,将空间几何问题转化为平面几何问题,解三角形.【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由得BC=(m).在Rt△BCD中,CD=BC·tan∠CBD=300=100(m).答案:100ABBCsinACBsinBAC=,1600ABsinBAC23002sinACB22==32366【类题通法】计算高度的注意事项(1)解决有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是关键.(2)在实际问题中,当研究空间与平面(地面)的问题时,通常画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,把空间问题转化为平面问题,明确三角形中的边长和角度,确定应用正弦定理或余弦定理计算.【定向训练】如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ=()aA.aB.223C.aD.a22米米米米【解题指南】设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA==γ-α=30°,由正弦定理可求PB,根据PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ可得结果.()()22【解析】选C.设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°.在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA==γ-α=30°,所以,所以PB=a.所以PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ=a×sin60°+asin15°=a(米).()()22aPBsin30sin1562262222探究点二计算角度【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.【思维导引】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/时,如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcosA.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0v≤30),①当0v30时,则Δ=360000+1600(v2-900)=1600(v2-675),令Δ=0,即1600(v2-675)=0,则v=15,31°当0v15时,两船不会相遇;2°当15≤v30时,t=当t=时,令x=,则x∈[0,15),t=当且仅当x=0,即v=15时,等号成立;332230020v675;v9002230020v675v9002v675230020x204x225x153,3当t=时,同理可得所以当15≤v30时,t;②当v=30时,可求得t=;综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是,此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/时,此时小艇能以最短的时间与轮船相遇.2230020v675v90024t33;3232323【类题通法】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确“方位角”或“方向角”的含义,方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围是(0,].(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.2【定向训练】本例中若小艇无最高航行速度限制,其他条件不变.问:(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少?(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为S,则S=故当t=时航行距离最小为S=10海里,此时v=(海里/时),即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时航行距离最小.2222130t20230t20cos9030900t600t400900(t)3003()(),133103303133(2)设小艇航行速度的大小是v海里/时,小艇与轮船在B处相遇如图,由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB得,(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),化简得v2=+900=400+675,由于0t≤,所以≥2,故当=2时,v取最小值10,即小艇航行速度的最小值为10海里/时.2400600tt213()t4121t1t1313【课堂小结】课堂素养达标1.在某测量中,A在B的北偏东55°,则B在A的()A.北偏西35°B.北偏东55°C.北偏东35°D.南偏西55°【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示,α=55°,则β=α=55°,所以B在A的南偏西55°.2.如图,要测出山上信号发射塔BC的高,从山脚A测得AC=30m,塔顶B的仰角为45°,塔底C的仰角为15°,则信号发射塔BC的高为()A.15mB.15mC.30mD.30m【解析】选B.由题意可知,AC=30,∠BAD=45°,∠CAD=15°,得∠B=45°,∠BAC=30°,由正弦定理可知,,解得BC=15.3223BCACsinBACsinB23.如图,一船运载着防疫物资由西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为α,前进5km后到达B处,测得岛M的方位角为β.已知该岛周围3km内有暗礁,现该船继续东行.(1)若α=2β=60°,该船有无触礁危险?(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?【解析】(1)在△ABM中可知,AB=BM=5,从而MC=5sin60°=3,没有触礁危险.(2)设CM=x,则BM=,∠AMB=α-β,在△ABM中,由正弦定理得,即解得x=,所以当3时没有触礁危险.532xcosABBMsinAMBsinBAM=5xsincoscos=,(-)5coscossin(-)5coscossin(-)
本文标题:新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件6434余弦定理正弦定理应用举例高度角度问题
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