新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课件923924总体集中趋势的估计总体离散程度的估计

9.2.3总体集中趋势的估计9.2.4总体离散程度的估计基础预习初探1.回顾初中学习的众数、中位数、平均数,思考下列问题:(1)众数是一组数据中出现次数最多的数,在频率分布直方图中,众数应出现在哪个位置?提示:在频率分布直方图中,众数应该出现在最大的那一组中,它是最高的矩形的中点.频率组距(2)在频率分布直方图中,中位数应出现在哪个位置?提示:在频率分布直方图中,中位数左边和右边直方图的面积应该相等.(3)在频率分布直方图中,平均数是如何估计的?提示:在频率分布直方图中,平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.2.通过预习教材,回答下列问题:(1)如何考查样本数据的分散程度?提示:最常用的统计量是样本数据的方差与标准差.(2)样本数据的分散程度是计算样本数据的什么值?提示:样本数据的分散程度是样本数据到平均数的平均距离.【概念生成】1.对众数、中位数、平均数的理解(1)众数:在一组数据中,出现次数_____的数据叫做这一组数据的众数.(2)中位数:将一组数据按_____依次排列,把处在_______位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数:假设样本数据是x1,x2,…,xn,表示这组数据的平均数,则=______________.xx最多大小最中间12nxxxn…2.对标准差、方差的理解(1)标准差:标准差是样本数据到平均数的一种_________,一般用s表示,s=__________________________________.(2)方差:标准差的平方s2叫做方差.s2=_______________________________.22212n1xxxxxxn[（）（）…（）]22212n1xxxxxxn[（）（）…（）]平均距离核心互动探究探究点一众数、中位数、平均数的应用【典例1】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征?(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征?【思维导引】结合平均数、中位数和众数的概念计算分析.【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为15岁,众数为15岁.平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.1313141515151516171710＋＋＋＋＋＋＋＋＋(2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.54344556665710＋＋＋＋＋＋＋＋＋【类题通法】中位数的求法(1)当数据个数为奇数时,中位数是按大小顺序排列的中间那个数.(2)当数据个数为偶数时,中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.提醒:数据特征的分析如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解样本数据中极端数据的信息.所以,应当深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点,并结合实际情况,灵活应用.【定向训练】下面是某快餐店所有工作人员一月的收入表:老板大厨二厨采购员杂工服务生会计30000元4500元3500元4000元3200元3200元4100元①计算所有人员的月平均收入.②这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗?为什么?③去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的月收入的一般水平吗?【解析】①月平均收入(30000+4500+3500+4000+3200+3200+4100)=7500(元).②这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平,可以看出打工人员的收入都低于平均收入,但是老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的影响,并且他不是打工人员.③去掉老板的收入后的月平均收入(4500+3500+4000+3200+3200+4100)=3750(元).这能代表打工人员的月收入的一般水平.11x721x6【补偿训练】10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有()A.abcB.bcaC.cabD.cba【解析】选D.将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,则平均数a=(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位数b=15,众数c=17,显然abc.110探究点二数据方差、标准差的应用【典例2】某大学有甲、乙两位航模运动员参加了国家队集训,现分别从他们在集训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:甲:8281797895889384乙:9295807583809085现要从中派一人参加国际比赛,从平均成绩和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.【思维导引】分别求出甲、乙两人的平均值与方差,比较大小,再选出合适人选.【解析】派甲参加比较合适,理由如下:(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85,(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85,[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-85)2+(93-85)2]=35.5,[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.1x8甲1x8乙21s8甲21s8乙因为所以甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.22xxss,甲乙甲乙，【类题通法】计算标准差的步骤第一步:算出样本数据的平均数;第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n);第三步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n);第四步:算出(xi-)2(i=1,2,…,n)这n个数的平均数,即为样本方差s2;第五步:算出方差的算术平方根,即为样本标准差s.xxxx【知识延拓】方差的两种化简形式方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在应用时注意其公式s2=的两个简化形式:①s2=②s2=其中x′1=x1-a,x′2=x2-a,…,x′n=xn-a,a是接近原数据平均数的一个常数.22212nxxxxxxn（）（）…（）222212n1xxxnx;n[（…）]222212n1xxxnxn[（…）]，【定向训练】1.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选C.比较四人平均环数与方差,得丙的平均成绩最高且方差最小,说明丙平均水平高且发挥最稳定.2.从甲、乙两种玉米中各抽10株,分别测得它们的株高如下:甲:25、41、40、37、22、14、19、39、21、42;乙:27、16、44、27、44、16、40、40、16、40.(1)分别计算两组数据的平均数与方差;(2)由(1)的结果分析哪种玉米的苗长得高?哪种玉米的苗长得齐?【解析】(1)(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30,(27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31.由方差公式得:[(25-30)2+(41-30)2+…+(42-30)2]=104.2,同理=128.8.(2)由(1)知故乙种玉米的苗长得高,又故甲种玉米的苗长得齐.1x10甲1x10乙21s10甲2s乙xx,甲乙22ss,甲乙探究点三频率分布表、频率分布直方图的数字特征【典例3】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组,第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45],得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人.(1)求x;(2)求抽取的x人年龄的中位数(结果保留整数);(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.【思维导引】(1)根据频率分布直方图求出第一组频率,由此能求出x.(2)设中位数为a,则0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,由此能求出中位数.(3)①利用平均数公式和方差公式能分别求出5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好.【解析】(1)根据频率分布直方图得第一组频率为0.01×5=0.05,所以=0.05,所以x=120.(2)设中位数为a,则0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,所以a=≈32,中位数为32.(3)①5个年龄组的平均数为×(93+96+97+94+90)=94,方差为×[(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6.5个职业组的平均数为×(93+98+94+95+90)=94,方差为×[(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8.②评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好.6x95311x5211s521x5221s5【类题通法】利用频率分布直方图求数字特征的方法(1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标.(2)中位数左右两侧直方图的面积相等.(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(4)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致.但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.【补偿训练】某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60),…,[90,100]后,画出部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)估计这次考试的及格率(60分及其以上为及格)和平均分.【解析】(1)因为各组的频率和等于1,所以第四组的频率为1-(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3.补全的频率分布直方图如图所示.(2)依题意,60分及其以上的分数在第三、四、五、六组,这四组频率之和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75.则抽样学生成绩的及格率是75%,利用组中值估计抽样学生的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分).因此,估计这次考试的平均分是71分.【定向训练】从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率分布直方图.由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求:(1)这50名学生成绩的众数与中位数;(2)这50名学生的平均成绩.【解析】(1)由众数的概念