新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测1014概率的基本性质Word版含解析

课时素养检测四十一概率的基本性质(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.(多选题)给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中不正确的是()A.①B.②C.③D.④⑤【解析】选AD.对立必互斥,互斥不一定对立,所以②③正确,①错;又当A+B=A时,P(A+B)=P(A),所以④错;只有A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),所以⑤错.2.打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则事件A=A1∪A2∪A3表示()A.全部未击中B.至少有一次击中C.全部击中D.至多有一次击中【解析】选B.事件A1,A2,A3彼此互斥,且A1∪A2∪A3=A,故A表示至少有一次击中.3.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意可知表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥.由概率的加法公式可得P(A+)=P(A)+P()=+==.4.国际羽联规定,标准羽毛球的质量应在[4.74,5.50]内(单位:克).现从一批羽毛球产品中任取一个,已知其质量小于4.74的概率为0.1,质量大于5.50的概率为0.2,则其质量符合规定标准的概率是()A.0.3B.0.7C.0.8D.0.9【解析】选B.因为事件“羽毛球的质量在[4.74,5.50]内”(质量符合规定标准)的对立事件为“质量小于4.74或质量大于5.50”,而“质量小于4.74”和“质量大于5.50”互斥,所以由互斥事件概率公式和对立事件概率公式可得质量符合规定标准的概率为1-(0.1+0.2)=0.7.5.若事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为()A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8【解析】选C.由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.6.现有语文、生物、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.记“取到语文、生物、英语、物理、化学书”分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E彼此互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.所以P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=++=.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,则P(B)=________.【解析】因为A,B为互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B).所以P(B)=P(A+B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.答案:0.38.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有________人.【解析】可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1-=.再由题意,知n-n=12,解得n=120.答案:120【补偿训练】如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15,0.20,0.45,则不中靶的概率是________.【解析】设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C互斥,故射手中靶的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.15+0.20+0.45=0.80.因为中靶和不中靶是对立事件,故不中靶的概率为P(D)=1-P(A+B+C)=1-0.80=0.20.答案:0.20三、解答题(每小题14分,共28分)9.黄种人群中各种血型的人所占的比例如表所示.血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人互相可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,则:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?【解析】(1)对任一个人,其血型为A,B,AB,O的事件分别为A′,B′,C′,D′,它们彼此互斥.由已知得P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.由于B,O型血可以输给B型血的人,因此“可以输血给小明的人”为事件B′+D′,根据互斥事件的概率加法公式,得:P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,因此“不能输血给小明的人”为事件A′+C′,所以P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.【补偿训练】某战士在一次射击训练中,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9.上述说法是否正确?请说明理由.【解析】不正确.因为该战士击中环数大于7和击中环数为6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率加法公式计算.10.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1件5件9件13件17件顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体中的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟).(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”,将频率视为概率得P(A1)==,P(A2)==.P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1--=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列四个命题:其中错误命题是()A.对立事件一定是互斥事件B.若A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1D.事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件【解析】选BCD.对立事件首先是互斥事件,故A正确;只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式,故B不正确;概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件,但和事件不一定是必然事件,故C不正确;对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中,设事件A={正面为奇数},B={正面为1,2,3},则P(A)+P(B)=1.而A,B不互斥,故D不正确.2.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥.该市球队夺得冠军即事件A∪B发生.于是P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.3.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则等于()A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据互斥事件可知C正确.4.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是()A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45【解析】选D.用频率估计概率,由图可知,抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.25,则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.二、填空题(每小题4分,共16分)5.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是________.【解析】该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为P=1-=.答案:6.从几个数中任取实数x,若x∈(-∞,-1]的概率是0.3,x是负数的概率是0.5,则x∈(-1,0)的概率是________.【解析】设“x∈(-∞,-1]”为事件A,“x是负数”为事件B,“x∈(-1,0)”为事件C,由题意知,A,C为互斥事件,B=A+C,所以P(B)=P(A)+P(C),P(C)=P(B)-P(A)=0.5-0.3=0.2.答案:0.27.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为________.【解析】因为抽到次品的概率为0.01,所以抽到正品的概率是1-0.01=0.99.答案:0.998.同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为,则5点或6点至少出现一个的概率是________.【解析】记既不出现5点也不出现6点的事件为A,则P(A)=,5点或6点至少出现一个的事件为B.因为A∩B=∅,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件,则P(B)=1-P(A)=1-=.故5点或6点至少出现一个的概率为.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【解析】(1)P(A)=,P(B)==,P(C)==.故事件A,B,C的概率分别为,,.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.因为A,B,C两两互斥,所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)==.故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-=.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.【补偿训练】玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率.(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.【解析】方法一(1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.方法二(1)“取出1个球为红球或黑