新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测623向量的数乘运算Word版含解析

课时素养检测四向量的数乘运算(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列各式计算正确的个数是()①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据向量数乘的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.2.下列说法正确的是()A.2a≠aB.|2a||a|C.2a∥aD.|2a|≠1【解析】选C.当a=0时,2a=a=0,A,B不正确;当|a|=时,|2a|=1,D不正确.3.若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是()A.b=2aB.b=-2aC.a=2bD.a=-2b【解析】选A.因为a与b的方向相同,且|b|=2|a|,故b=2a.【补偿训练】已知向量a,b满足:|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ=()A.B.C.±D.±【解析】选C.因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,λ=±.4.设a,b为不共线的两个非零向量,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于()A.10B.-10C.2D.-2【解析】选C.因为A,B,D三点共线,所以=λ=λ(-),所以a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),所以λ=1,k=2.【补偿训练】已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,)【解析】选A.由已知,得=λ,λ∈(0,1),而=+,所以=λ(+),λ∈(0,1).5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于()A.B.C.-D.-【解析】选A.(方法一):由=2,可得-=2(-)⇒=+,所以λ=.(方法二):=+=+=+(-)=+,所以λ=.6.(多选题)点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P不可能在()A.△ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边上D.△ABC外部【解析】选ACD.因为=λ+,所以-=λ.所以=λ.所以P,A,C三点共线.所以点P一定在AC边所在的直线上.所以点P不可能在△ABC内部与外部,也不可能在AB边上.【补偿训练】已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且++=,则()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上【解析】选D.++=-,所以=-2,所以P在AC边上.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若2-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=____________.答案:a-b+c【补偿训练】(a+9b-2c)+(b+2c)=________.答案:a+10b8.已知=,若=λ,则λ等于________;若=m,则m等于________.【解析】因为=,所以-PP1=(+),即=-=λ,所以λ=-.=m,所以m=.答案:-三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f.(1)用e,f表示;(2)证明:四边形ABCD为梯形.【解析】(1)=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.(2)因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以与方向相同,且的长度为的长度的2倍,即在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.10.已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2,求证:a∥b.【证明】若e1=e2=0,则a=b=0,所以a与b共线,即a∥b;若e1,e2中至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,所以a∥e1,b∥e1.因为e1≠0,所以a∥b.综上可知,a∥b.