新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测6434余弦定理正弦定理应用举例高度角度问题

课时素养检测十四余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的()A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°【解析】选B.如图所示,∠ACB=90°.又AC=BC,所以∠CBA=45°,而β=30°,所以α=90°-45°-30°=15°,所以点A在点B的北偏西15°.2.如图所示,为测一树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得望树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+3)m【解析】选A.设树高为xm,则BP=xm.在△ABP中,AB=60,BP=x,∠A=30°,∠APB=15°.由正弦定理得=,即=,解得x=30(1+).3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为()A.10m.20mC.20m.40m【解析】选D.设AB=xm,则BC=xm,BD=xm,在△BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°,所以x2-20x-800=0,所以x=40(m).4.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是()A.5mB.10mC.5mD.10m【解题指南】在△BCD中,由正弦定理求出BC⇒在Rt△ABC中求得AB.【解析】选B.在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,由正弦定理,得=,BC==10.在Rt△ABC中,tan60°=,AB=BCtan60°=10(m).5.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10000m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为()A.2500(-1)mB.5000mC.4000mD.4000m【解析】选A.如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10000,所以∠ACB=45°.由正弦定理,得=,又cos75°=,所以BD=·cos75°=2500(-1)(m).6.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN为()A.100mB.150mC.200mD.250m【解析】选B.在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°由正弦定理得=,因此,AM=100m.在Rt△MNA中,AM=100m,∠MAN=60°,由=sin60°,得MN=100×=150m.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在高出海平面200m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°,此时两船间的距离为__________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H,由图易知∠BAH=45°,∠CAH=60°,AH=200m,则BH=AH=200m,CH=AH·tan60°=200m.故两船距离BC=BH+CH=200(+1)m.答案:200(+1)8.甲船在岛A的正南B处,以4km/h的速度向正北航行,AB=10km,同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为________.【解析】如图,当两船航行th时,甲船到D处,乙船到C处,则AD=10-4t,AC=6t,∠CAD=120°,若AD′=4t-10,AC=6t,∠CAD′=60°,所以CD2=(6t)2+(10-4t)2-2×6t×(10-4t)×=28t2-20t+100,所以当t=h时,CD2最小,即两船最近,t=h=min.答案:min【补偿训练】如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距6海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东(θ+30°)的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为________.【解析】连接BC,由已知得AC=6,AB=10,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos120°=100+36-2·10·6·=196,所以BC=14,由正弦定理得=,即=,解得sinC=,所以sinθ=.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上,旗杆顶部D的仰角为60°;在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上,旗杆顶部D的仰角为45°,求旗杆CD高度.【解析】设CD=x,在Rt△BCD,∠CBD=45°,所以BC=x,在Rt△ACD,∠CAD=60°,所以AC==,在△ABC中,∠CAB=20°,∠CBA=10°,所以∠ACB=180°-20°-10°=150°,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos150°,又AB=4,即(4)2=x2+x2+2··x·=x2,解得x=12.所以旗杆高12米.10.某海岛周围38nmile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30nmile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,试问此船是否有触礁的危险?说明理由.【解析】如图所示,由题意知,在△ABC中,AB=30,∠BAC=30°,∠ABC=135°,所以∠ACB=15°,由正弦定理,得BC====15(+).在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)38.所以此船无触礁的危险.(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为()A.15米B.5米C.10米D.12米【解析】选C.如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h,在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,由余弦定理,得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).2.2018年国庆节期间,某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动,从山脚A处出发,沿一个坡角为45°的斜坡直行,走了100m后,到达山顶B处,C是与B在同一铅垂线上的山底,从B处测得另一山顶M点的仰角为60°,与山顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为30°,两山BC,MN的底部与A在同一水平面,则山高MN=()A.200mB.250mC.300mD.400m【解析】选D.如图,由题可知,AB=100,∠A=45°,∠M=30°,∠MBN=90°,∠MNB=60°,所以BC=100,BN=200,MN=400.【解后反思】解三角形的实际应用题型,首先是模型的建立,本题要根据题目条件,画出正确的几何图形模型,再根据题目的条件,利用解三角形的知识,进行目标的求解.在本题中,可以根据条件的特殊性,直接利用三角形的几何特征求解.3.(多选题)一船向正北航行,看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,此时离最近的灯塔为anmile,设这艘船的速度是每小时vnmile,则()A.a=5B.a=10C.v=10D.v=10【解析】选BC.如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在Rt△ABC中,求得AB=5,BC=5,所以这艘船的速度是=10(nmile/h),即v=10.4.如图是一个斜拉桥示意图的一部分,AC与BD表示两条相邻的钢缆,A,B与C,D分别表示钢缆与桥梁与主塔上的铆点,两条钢缆的仰角分别为α,β,为了便于计算,在点B处测得C的仰角为γ,若AB=m,则CD=()A.B.C.D.【解析】选D.在△ABC中,由正弦定理,可得=,可得BC=,在△BCD中,由正弦定理,可得=,CD=·BC=.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2020·广州高一检测)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ的值为________.【解析】如图所示,在△ABC中,AB=30,AC=20,∠BAC=135°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos135°=3400,所以BC=10,由正弦定理得sin∠ACB=·sin∠BAC=,由∠BAC=135°知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=,故cosθ=cos(∠ACB+45°)=cos∠ACBcos45°-sin∠ACBsin45°=-=.答案:6.有一长为10m的斜坡,它的倾斜角是75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延伸________m.【解析】如图,在△ABC中,由正弦定理,得=,所以x=10(m).答案:10三、解答题(共26分)7.(12分)在地面上某处,测得塔顶的仰角为θ,由此处向塔走30m,测得塔顶的仰角为2θ,再向塔走10m,测得塔顶的仰角为4θ,试求角θ的度数.【解题指南】如图所示,求角θ,必须把角θ,2θ,4θ和边长30,10尽量集中在一个三角形中,利用方程求解.【解析】方法一:因为∠PAB=θ,∠PBC=2θ,所以∠BPA=θ,所以BP=AB=30.又因为∠PBC=2θ,∠PCD=4θ,所以∠BPC=2θ,所以CP=BC=10.在△BPC中,根据正弦定理,得=,即=,所以=.由于sin2θ≠0,所以cos2θ=.因为0°2θ90°,所以2θ=30°,所以θ=15°.方法二:在△BPC中,根据余弦定理,得PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2θ,把PC=BC=10,PB=30代入上式得,300=302+(10)2-2×30×10×cos2θ,化简得:cos2θ=.因为0°2θ90°,所以2θ=30°,所以θ=15°.方法三:如图,过顶点C作CE⊥PB,交PB于E,因为△BPC为等腰三角形,所以PE=BE=15.在Rt△BEC中,cos2θ===.因为0°2θ90°,所以2θ=30°,所以θ=15°.8.(14分)某海轮以30海里/时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点.(1)求PC间的距离;(2)在点C测得油井的方位角是多少?【解题指南】(1)在△ABP中,根据正弦定理,求BP,再利用勾股定理算出PC的长,即可算出P,C两地间的距离;(2)根据内错角相等可证明CP∥AB,从而可得出结论.【解析】(1)在△ABP中,AB=30×=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,根据正弦定理得:=⇒BP=20,在△PBC中,BC=30×=20,由已知∠PBC=90°⇒PC=40.(2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40,所以s