新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测842空间点直线平面之间的位置关系Word版

课时素养检测二十五空间点、直线、平面之间的位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则()A.P∉α,Q∈αB.P∈α,Q∉αC.P∉α,Q∉αD.Q∈α【解析】选D.因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也有可能P∉α.2.平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈α,C∈β且C∉l,又AB∩l=R,如图所示,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均错【解析】选C.因为A∈γ,B∈γ,所以直线AB⊂γ.因为R∈AB,所以R∈γ.又因为C∈γ且C∈β,R∈β,所以β∩γ=直线CR.3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E,F,各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是()A.4B.6C.8D.10【解析】选C.AB,AD,AA1,A1B1,A1D1,D1D,D1C1,DC与直线EF都是异面直线.4.直线l在平面α外指的是()A.l∩α=AB.l∩α=∅C.l∩α=A或l∩α=∅D.l∩α有无数个公共点【解析】选C.直线与平面平行或相交统称为直线在平面外.5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作【解析】选C.因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交和直线与平面平行.①当直线与平面相交时,不能作出符合题意的平面;②当直线与平面平行时,可作出唯一的一个符合题意的平面.综上可得所能作的平面至多有一个.6.(多选题)如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个说法:其中正确的是()A.过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交B.过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直C.过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交D.过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行【解析】选ABD.对A项,点M和AB确定的平面与点M和B1C1确定的平面有一条过M点的交线,这条直线与AB,B1C1都相交.若还能作一条线,则两相交线确定一平面,从而证明AB,B1C1共面与它们异面矛盾,从而假设不正确,A正确;对B选项,DD1是满足条件的唯一直线;对D项,过M点和AA1,BB1,CC1中点的截面是满足条件的唯一平面.将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得的平面与直线AB,B1C1都相交,故C错误.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若直线l上有两点到平面α的距离相等,则直线l与平面α的关系是__________________.【解析】当l∥α时,l上有两点到α的距离相等;当l与α相交时,l上有两点到α的距离相等;当l⊂α时,l上有两点到α的距离相等.故l∥α或l与α相交或l⊂α.答案:平行或相交或l⊂α8.(双空题)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面都是矩形,则:(1)与直线AB平行的平面是________________;(2)与直线AA′平行的平面是________________.答案:(1)平面A′C′,平面DC′(2)平面B′C,平面DC′三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.【解析】因为点P既在平面α内又在平面AB1内,所以点P在平面α与平面AB1的交线上.同理,点A1在平面α与平面AB1的交线上.因此,PA1就是平面α与平面AB1的交线.同理可得:交线A1C1与交线PC1.所以由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示.10.如图所示,在正方体ABCD�A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【解析】(1)不是异面直线,理由:连接MN,A1C1,AC,如图,因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A�D1D,D1D�C1C,所以A1A�C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1∥AC,故MN∥A1C1∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内,则B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1,所以BC⊂平面CC1D1,这显然是不正确的,所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若平面α∥平面β,直线l⊂平面α,直线n⊂平面β,则直线l与直线n的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行或异面【解析】选D.平面α∥平面β,可得两平面α,β无公共点,即直线l与直线n也无公共点,可得它们异面或平行.2.下列说法:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.先考虑空间中直线与平面平行的特征,再结合空间想象作出判断.对于①,因为直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,所以l不一定平行于α,所以①错误.对于②,因为直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,所以a和α不一定平行,所以②错误.对于③,因为直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于α,所以③错误.对于④,因为a∥b,b⊂α,那么a⊂α或a∥α,所以a可以与平面α内的无数条直线平行,所以④正确.综上所述,正确的个数为1.【补偿训练】若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面【解析】选D.若a∥α,则a与α内的直线平行或异面,若a与α相交,则a与α内的直线相交或异面.3.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是()A.α内的所有直线都与直线a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点【解析】选D.直线与平面不平行,则直线与平面相交或直线在平面内,所以A,B,C都错.【补偿训练】α,β是两个不重合的平面,下面说法中正确的是()A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【解析】选D.A,B都不能保证α,β无公共点,如图①;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②;只有D说明α,β一定无公共点.4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是()A.直线AC1在平面CC1B1B内B.设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1C.由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1D.由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面【解析】选BCD.A错误.如图所示,点A∉平面CC1B1B,所以直线AC1⊄平面CC1B1B.B正确.如图所示.因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.CD都正确,因为AD∥B1C1且AD=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以A,B1,C1,D共面.【补偿训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【解析】选D.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由基本事实知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线CC1平行的棱的条数是________.【解析】与CC1平行的棱有AA1,BB1,DD1.答案:36.如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对.【解析】将展开图恢复成正方体后,得到AB与CD,EF与GH,AB与GH三对异面直线.答案:37.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有__________个.【解析】画出图形如图所示,结合图形可得AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.所以与棱AA1平行的平面共有3个.答案:38.(双空题)若a与b相交,则过a与b平行的平面有__________个;若a与b异面,则过a与b平行的平面有__________个.【解析】当a与b相交时,设a∩b=N,过a的平面为α,则N∈b,且N∈α,所以直线b与平面α有公共点,故b不可能与α平行,所以过a与b平行的平面有0个;当a与b异面时,如图所示,过a上任意一点M作b′∥b,则a与b′确定了唯一的平面α,且b∥α,故过a与b平行的平面有1个.答案:01三、解答题(共38分)9.(12分)三个平面α,β,γ,如果α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的关系,并说明理由;(2)判断c与a的关系,并说明理由.【解析】(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又c⊂β,所以c与α没有公共点,所以c∥α.(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,所以a,b没有公共点,所以a∥b,又c∥b,所以c∥a.10.(12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.【证明】因为在矩形AA1B1B中,E为A1B1的中点,所以AA1与BE不平行,则AA1,BE的延长线相交于一点,设此点为G,所以G∈AA1,G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1,BE⊂平面BEF,所以G∈平面ACC1A1,G∈平面BEF,所以平面ACC1A1与平面BEF相交.11.(14分)如图,P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是△PAB和△PBC的重心,AC=9.(1)求MN的长;(2)若点P,B的位置发生变化,会影响M,N的位置和MN的长度吗?【解析】(1)如图,连接PM并延长交BA于E,连接PN并延长交CB于F,连接EF.因为M,N分别是△ABP和△BPC的重心,故E,F分别是AB,BC的中点,所以EFAC.又==,所以MNEF.所以MN=×AC=AC=3.(2)由(1)知MN的长与B,P的位置无关,恒是定值.但若P,B的位置发生变化,M,N的位置也会改变.