新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测862直线与平面垂直二Word版含解析

课时素养检测三十一直线与平面垂直(二)(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若直线l与平面α不垂直,m⊂α,那么l与m的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面或相交D.以上都有可能【解析】选D.由线面位置关系判断.2.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定【解析】选B.由题意可知,该直线垂直于三角形所确定的平面,故这条直线和三角形的第三边也垂直.3.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或平行【解析】选B.圆柱的母线垂直于圆柱的底面,由线面垂直的性质知是平行关系.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】选B.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是正方形,所以BD⊥A1C1,且BD⊥CC1,又因为A1C1∩CC1=C1,所以BD⊥平面A1C1C,又因为CE⊂平面A1C1C,所以BD⊥CE.5.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【解析】选C.取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,因为AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC.又因为BD,AC异面,所以选C.6.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论,其中正确的结论是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D.二面角B-SD-C的大小为45°【解析】选ABD.由题意,AC⊥平面BDS,所以AC⊥SB,故选项A正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD,故选项B正确;AB与SC所成的角是∠SCD,DC与SA所成的角是∠SAB,两者不相等,故选项C错误;二面角B-SD-C的平面角是∠BDC,是45°,故选项D正确.二、填空题7.(4分)已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF=________.【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又因为AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以EF=AD=6.答案:6三、解答题(共22分)8.(10分)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面,AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1;(2)求圆柱的侧面积.【解析】(1)依题意AB⊥AC,因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC,又因为AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B1B,因为BA1⊂平面AA1B1B,所以AC⊥BA1.(2)在Rt△ABC中,AB=2,AC=2,∠BAC=90°,所以BC=2,S侧=2π×3=6π.9.(12分)如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:=.【证明】因为PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,所以EF∥BD,所以=.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知直线a,b,平面α,且a⊥α,下列条件中,能推出a∥b的是()A.b∥αB.b⊂αC.b⊥αD.b与α相交【解析】选C.由线面垂直的性质定理可知,当b⊥α,a⊥α时,a∥b.2.已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解析】选B.A中,两条直线也可以相交或异面,故A错误;B中,描述的是线面垂直的性质,故B正确;C中,还会出现n⊂α的情况,故C错误;D中,还会出现n∥α,n与α相交或n在α内的情况,故D错误.3.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么()A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC【解析】选C.因为PM⊥平面ABC,MC,AB⊂平面ABC,所以PM⊥MC,PM⊥AB.又因为M为AB中点,∠ACB=90°,所以MA=MB=MC.所以PA=PB=PC.4.(多选题)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是()A.三角形的两边B.梯形的两边C.圆的两条直径D.正六边形的两条边【解析】选AC.由线面垂直的判定定理知,必须在平面内找到两条相交直线与该直线垂直,直线垂直于AC图形所在的平面.而BD图形中的两边不一定相交,故该直线与它们所在的平面不一定垂直.提醒:让平面图形内的两条直线一定“相交”是该题的题眼!显然三角形的三边两两相交;梯形的上、下底边相互平行,圆中的两条直径必相交;而正六边形中存在相互平行的对边.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为________.【解析】因为PC⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,所以PC⊥CM.所以PM=.要使PM最小,只要CM最小,此时应有CM⊥AB.因为AB=8,∠ABC=60°,∠ACB=90°.所以BC=AB=4,AC=4.所以CM==2.所以PM==2.即PM的最小值为2.答案:26.地面上有相距a米的旗杆,它们的高度分别是b米和c米(bc),则它们顶端的距离为________.【解析】如图,根据题意可知AD=b,BC=c,AB=a,由线面垂直的性质定理可得AD∥BC,过C向AD作垂线,设垂足为点E,则在Rt△CDE中,CE=a,DE=b-c,得CD=.答案:7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件____时,有AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).【解析】如图所示,连接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要证AB1⊥BC1,则只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1即可,由直三棱柱可知,只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件,如∠A1C1B1=90°等)答案:∠A1C1B1=90°(答案不唯一)8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.则有(1)CD________AE.(2)PD________平面ABE.(填“⊥”或“∥”)【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AC⊥CD,且PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.答案:(1)⊥(2)⊥三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=BC=CA=4,∠BCA=90°,E为PC的中点.求证:BE⊥平面PAC.【证明】因为PB⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AC⊥PB.因为∠BCA=90°,所以AC⊥CB,而CB⊂平面PBC,PB⊂平面PBC,PB∩CB=B,所以AC⊥平面PBC.又BE⊂平面PBC,所以AC⊥BE.因为E为PC的中点,且PB=BC,所以BE⊥PC.又PC⊂平面PAC,AC⊂平面PBC,PC∩AC=C,所以BE⊥平面PAC.10.(12分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,E,F分别是SD,SC的中点.求证:(1)BC⊥平面SAB;(2)EF⊥SD.【证明】(1)因为四棱锥S-ABCD的底面是矩形,所以AB⊥BC.因为SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SA⊥BC.又因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.(2)因为SA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥SA.又因为CD⊥AD,SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD.因为E,F分别是SD,SC的中点,所以EF∥CD,所以EF⊥平面SAD.又因为SD⊂平面SAD,所以EF⊥SD.11.(14分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥平面BEF.【证明】如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EF⊥PC.又BP==2=BC,F是PC的中点,所以BF⊥PC.又BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.