新教材2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测923924总体集中趋势的估计总体离散程度的

课时素养检测三十七总体集中趋势的估计总体离散程度的估计(20分钟40分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,则其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是()A.平均数B.众数C.中位数D.方差【解析】选C.判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8位,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数.2.一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1,4.显然a=1,b=4.故方差s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.3.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010A.B.C.3D.【解析】选B.因为===3,所以s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=×[20×22+10×12+30×02+30×12+10×22]==.所以s=.4.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体均值为3,中位数为4B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体均值为2,总体方差为3【解析】选D.根据信息可知,连续10天内,每天的新增疑似病例不能有超过7的数,选项A中,中位数为4,可能存在大于7的数;同理,在选项C中也有可能;选项B中的总体方差大于0,叙述不明确,如果数目太大,也有可能存在大于7的数;选项D中,根据方差公式,如果有大于7的数存在,那么方差不会为3.5.(多选题)有一笔统计资料,共有11个数据如下(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6,则下列说法正确的是()A.x=5B.这组数据的众数是4C.这组数据的方差是6D.这组数据的中位数是8【解析】选AC.因为=×(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=×(61+x)=6,所以x=5.方差为s2===6.这组数据的众数是5,中位数是5.二、填空题(每小题4分,共8分)6.某高校有甲,乙两个数学建模兴趣班,其中甲班40人,乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分.【解析】平均成绩为=85(分).答案:85【补偿训练】在一组数据中,共有10个数,其中3出现2次,9出现4次,-3出现1次,5出现3次,则这组数据的平均数为________.【解析】3出现2次,其和为6,9出现4次,其和为36,-3出现1次,其和为-3,5出现3次,其和为15,则这10个数据之和为6+36-3+15=54,则这组数据的平均数==5.4.答案:5.47.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值是______,方差是______.【解析】==9.5,s2=(0.12×4+0.22)=0.016.答案:9.50.016【补偿训练】五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=______,这五个数的标准差是______.【解析】由=3,得a=5;由s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,得标准差s=.答案:5三、解答题8.(12分)甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:(1)填写下表:平均数方差中位数命中9环及以上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析:①从平均数和方差结合分析偏离程度;②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些;③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些;④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.【解析】(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以=(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7;乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位数是=7.5;甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为7.于是填充后的表格如表所示:平均数方差中位数命中9环及以上甲71.271乙75.47.53(2)①甲、乙的平均数相同,均为7,但,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离平均数的程度大,即甲的成绩更稳定.②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶成绩比甲好.③甲、乙的平均水平相同,而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次,可知乙的射靶成绩比甲好.④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状态在提升,更有潜力.【补偿训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]频数62638228(1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图:(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?【解析】(1)由频率分布表直接画出频率分布直方图:(2)质量指标值的样本平均数为:=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为:s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本平均值约为()A.4.55B.4.5C.12.5D.1.64【解析】选A.=≈4.55.【补偿训练】样本101,98,102,100,99的标准差为()A.B.0C.1D.2【解析】选A.样本平均数=100,方差为s2=2,所以标准差s=.2.样本数为9的四组数据,它们的平均数都是5,条形图如图所示,则标准差最大的一组是()A.第一组B.第二组C.第三组D.第四组【解析】选D.第一组中,样本数据都为5,数据没有波动幅度,标准差为0;第二组中,样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差为;第三组中,样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为;第四组中,样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为2,故标准差最大的一组是第四组.3.为了解某校一次期中考试数学成绩情况,抽取100位学生的数学成绩,得如图所示的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则估计该次数学成绩的中位数是()A.71.5B.71.8C.72D.75【解析】选C.[40,50)的频率为:0.004×10=0.04;[50,60)的频率为:a×10=10a;[60,70)的频率为:0.03×10=0.3;[70,80)的频率为:0.04×10=0.4;[80,90)的频率为:0.01×10=0.1;[90,100]的频率为:a×10=10a.所以0.04+10a+0.3+0.4+0.1+10a=1,得:a=0.008.[40,50),[50,60),[60,70)的频率和为:0.04+0.08+0.3=0.42.由=,得中位数为:70+×10=72.【补偿训练】如图是一个容量为100的样本的重量频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为________.【解析】根据频率分布直方图,得0.06×5=0.30.5,0.3+0.1×50.5,令0.3+0.1x=0.5,解得x=2,所以中位数是10+2=12.答案:124.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是()A.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】选AC.甲的平均数:(4+5+6+7+8)=6,乙的平均数:(5×3+6+9)=6,甲的成绩的方差为2,乙的成绩的方差为2.4.甲、乙的极差均为4,故AC正确.由图知甲的中位数为6,乙的中位数为5,所以B错,甲的成绩的极差为8-4=4,乙的成绩的极差为9-5=4,甲乙的极差相等,所以D错.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为s2=×[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=×[(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42]=×(0.16+0.09+0.09+0.16)=×0.5=0.1.答案:0.16.若6个数的标准差为2,平均数为1,则这6个数的平方和为______.【解析】由s==即2=得++…+=30.答案:307.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为________.【解析】设5个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则由题意知=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,五个整数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20,由|x-7|=3可得x=10或x=4.由|x-7|=1可得x=8或x=6,由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10,故最大值为10.答案:108.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则:(1)平均命中环数为________;(2)命中环数的标准差为________.【解析】(1)=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.(2)s2=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,所以s=2.答案:(1)7(2)2三、解答题(每小题14分,共28分)9.某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数;(2)高一参赛学生的平均成绩.【解析】(1)由图可知众数为65,因为第一个小矩形的面积为0.3,所以设中位数为60+x,则0.3+x×0.04=0.5,得x=5,所以中位数为60+5=6