2021学年新教材人教B版数学必修第二册课件第4章41411实数指数幂及其运算

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算学习目标核心素养1．理解n次方根及根式的概念．(一般)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点、难点)1．通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养．2．通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养.情境导学探新知关于根号的故事，最有价值和意义的当属2的发现，它导致了第一次数学危机，并促使了逻辑学和几何学的发展．公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰．对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生．小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海．问题：若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？[提示]这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±3.1．有关幂的概念一般地，an中的a称为_____，n称为_____．2．根式的相关概念和性质(1)根式的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得___＝a，则__称为a的n次方根；当na有意义的时候，___称为根式，n称为_______，a称为被开方数．底数指数xnx根指数na(2)根式的性质①(na)n＝__.②nan＝__当n为奇数时，___当n为偶数时.aa|a|思考1：类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？[提示]a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个，为na，n为偶数，a的n次方根有两个，为±na.a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个，为na，n为偶数，a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为n0＝0.3．分数指数幂(1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当na有意义时，规定a＝____；当na没有意义时，称____没有意义．na(2)意义正分数指数幂①a＝na(a0)，②a＝(na)m＝___(a0，m，n∈N*，且mn为既约分数)负分数指数幂a－s＝__(as有意义且a≠0)分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义nam1as(3)运算法则①前提：s，t为任意有理数．②法则：asat＝as＋t；(as)t＝ast；(ab)s＝asbs.思考2：如何理解分数指数幂？[提示](1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a可能会有意义．当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算；(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样．记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘．4．实数指数幂无理指数幂at(a0，t是无理数)是一个确定的_____，有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用．因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立．实数1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．()(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．()(3)3－π2＝π－3.()(4)0的任何指数幂都等于0.()(1)×(2)×(3)√(4)×[(1)当n是偶数时，(n－16)n没有意义．(2)负数没有偶次方根．(3)∵3－π2＝|3－π|＝π－3.∴(3)正确．(4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．]D[A中，当a＜0，b＜0时等式不成立；B中，当a－b＜0时等式不成立；C中，当a＜0时等式不成立．]2．下列等式成立的是()A.ab＝a·bB.a－b2＝a－bC.a－a＝－a3D.－1a＝－1a－aC[当a＞0时，a用根式形式表示为15a3，a6b5用分数指数幂表示为a3b.]3．若a＞0，则用根式形式表示a，用分数指数幂表示a6b5分别为()2x－18[因为8＜x≤10，则x－82－x－102＝x－8－(10－x)＝2x－18.]4．若8＜x≤10，则x－82－x－102＝________.合作探究释疑难根式的概念与性质根式的概念与性质【例1】(1)若x＜13，则1－6x＋9x2等于()A．3x－1B．1－3xC．(1－3x)2D．非以上答案(2)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.(3)若41a－3有意义，则实数a的取值范围是________．[思路探究](1)先将根式内配成完全平方的形式，再利用根式的性质化简．(2)先由平方根的定义求出a的值，再由立方根的定义求出b的值，再求和．(3)根据被开方数大于或等于0，及分母不为0求解．(1)B(2)－11或7(3)(3，＋∞)[(1)因为x＜13，所以1－3x＞0.所以1－6x＋9x2＝1－3x2＝|1－3x|＝1－3x.(2)因为(±9)2＝81，所以81的平方根为±9，即a＝±9，又(－2)3＝－8，所以－8的立方根为－2，所以b＝－2，所以a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7.(3)要使41a－3有意义，则1a－3＞0，且a－3≠0，即a＞3.]1．根式概念问题应关注的两点(1)n为奇数时，对任意实数a都存在n次方根．(2)n是偶数时，只有a≥0时才有n次方根，表示为±na.2．根式化简应遵循的三个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．(2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab＝a·b(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．[跟进训练]1．(1)4－34的值是()A．3B．－3C．±3D．81(2)若x6＝2021，则x＝________.(3)已知4a＋14＝－(3a＋1)3，则实数a的取值范围是________．(1)A(2)±62021(3)(－∞，－1][(1)4－34＝|－3|＝3.(2)因为x6＝2021，所以x＝±62021.(3)因为4a＋14＝|a＋1|，(3a＋1)3＝a＋1，所以|a＋1|＝－(a＋1)，所以a＋1≤0，即a≤－1.]根式与分数指数幂的互化【例2】(1)根式1a1a(式中a＞0)的分数指数幂的形式为()(2)下列各式正确的是()[思路探究](1)从里往外先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解．(2)利用指数幂的运算性质求解．(1)A(2)D[(1)1a1a＝a－1a＝a)＝a.(2)A.(m＋n)＝3m＋n2，因此不正确；B.ba2＝b2·a－2，因此不正确；C.6－32＝632＝3，因此不正确；D.34＝4＝[(22)]＝2，因此正确．]根式与分数指数幂互化的规律及技巧(1)规律：根指数分数指数幂的分母．被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．[跟进训练]2．(1)3aa化为分数指数幂为________．(2)将下列各式化为分数指数幂的形式：①13x·5x22(x＞0)；②ab3ab5(a＞0，b＞0)．(1)a[3aa＝(a·a)＝(a)＝a.](2)[解]指数幂的运算角度一利用分数指数幂的运算性质化简与求值【例3】计算下列各式：(1)(4a2b)(－2ab)÷(－b)；(2)614－3338－(2－1)0＋(－1)2021＋2－1.[思路探究]化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值．[解](1)(2)614－3338－(2－1)0＋(－1)2021＋2－1＝254－3278－1－1＋12＝52－32－32＝－12.1．化简结果的一个要求和两个不能2．幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂．(2)化根式为分数指数幂．(3)化小数为分数进行运算．[跟进训练]3．(1)化简：＝________.(2)求值：1.5×－670＋80.25×42＋(32×3)6－－23.(2)[解]1.5×－670＋80.25×42＋(32×3)6－－23＝32×1＋(23)×2＋22×33－23＝23＋2＋4×27－23＝110.角度二指数式的条件求值问题[探究问题]1．把a＋1a2，a＋1a2分别展开是什么？[提示]a＋1a2＝a＋1a＋2，a＋1a2＝a2＋1a2＋2.2.a＋1a2和a－1a2有什么关系？[提示]a＋1a2＝a－1a2＋4.【例4】已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：(1)a2＋a－2；(2)a－a.[解](1)因为a＋a－1＝5，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝52－2＝23.(2)因为a－a2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，所以a－a＝±3.本例条件不变，如何求a3＋a－3的值？[解]因为a＋a－1＝5，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3aa－1]＝5×(25－3)＝110.条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．课堂小结提素养一、知识总结1．一个数有没有n次方根，一定先考虑被开方数是正数还是负数，还要分n为奇数或偶数这两种情况．2．根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．3．指数幂的几个常见结论(1)当a＞0时，ab＞0；(2)当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；(3)若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；(4)乘法公式仍适用于分数指数幂，如：(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a＞0，b＞0)．4．在条件求值(或化简)中，注意整体代入法的应用．求解指数方程，常化为同底数的幂、或者换元求解．二、方法归纳整体代换法．三、常见误区对于na，当n为偶数时，a≥0.在运用分数指数幂的运算法则化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．A[因为na与－na互为相反数，所以a＝0.]1．若na＝－na，则()A．a＝0B．a≠0C．a≤0D．a≥0B[①a2－a＋1＝a－122＋34＞0，所以(a2－a＋1)0＝1成立．②3x4＋y3无法化简．③3－5＜0，6－52＞0，故不相等．]2．有下列各式：①若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；②3x4＋y3＝x＋y；③3－5＝6－52.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3a[由条件知a≥0，3．化简aaa的结果等于________．3[原式＝4－1－4－94＝3.]4．27＋16－12－2－827＝________.5．化简下列各式(式中字母均为正数)：(1)b3aa6b6；(2).(结果化为分数指数幂)[解]＝a.点击右图进入…课时分层作业