第10课一元二次方程的解集及其根与系数的关系2021学年高一数学上学期课时同步练人教B版2019必修

第二单元等式与不等式第10课一元二次方程的解集及其根与系数的关系一、基础巩固1．下列一元二次方程的解集为空集的是()A．x2＋2x＋1＝0B．x2＋x＋2＝0C．x2－1＝0D．x2－2x－1＝0【答案】B【解析】A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B.2．用配方法解下列方程，配方正确的是()A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4【答案】D【解析】A.2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C.x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．故选D.3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是()A．只有一个元素B．有两个元素C．为空集D．不能确定有几个元素【答案】A【解析】∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A.4．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是()A.427B．－427C．－5827D.5827【答案】C【解析】由题知α＋β＝－23，αβ＝－3，所以βα＋αβ＝（α＋β）2－2αβαβ＝－5827.5．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋m4＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若1x1＋1x2＝4m，则m的值是()A．2B．－1C．2或－1D．不存在【答案】A【解析】由题知m≠0，Δ＝（m＋2）2－4m·m40，解得m－1且m≠0.因为x1＋x2＝m＋2m，x1x2＝14，所以1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝m＋2m14＝4m，所以m＝2或－1.因为m－1，所以m＝2.6.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.【答案】－3【解析】由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.7．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．【答案】－1【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.8．一元二次方程x2－2x－54＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋94＝0的根，求k的值．【答案】－7或75【解析】x2－2x－54＝0，移项得x2－2x＝54，配方得x2－2x＋1＝94，即(x－1)2＝94，开方得x－1＝±32，解得x1＝52，x2＝－12.①把x＝52代入x2－(k＋2)x＋94＝0中，得522－52(k＋2)＋94＝0，解得k＝75.②把x＝－12代入x2－(k＋2)x＋94＝0中，得－122＋12(k＋2)＋94＝0，解得k＝－7.当k＝75或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，综上所述，k的值为－7或75.二、拓展提升9．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是()A．x2－7x＋12＝0B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝0【答案】A【解析】由一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca即可判断A正确，故选A.10．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．【答案】{－1,3}【解析】把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．11．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.解得：y1＝1，y2＝2.当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.(2)若实数x满足x2＋1x2－3x－3x＝2，求x＋1x的值．【答案】（1）x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3；（2）x＋1x＝4【解析】(1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，即(a－1)(a－9)＝0，解得：a＝1或a＝9，当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.(2)设x＋1x＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，∴(y＋1)(y－4)＝0，解得：y＝－1或y＝4，即x＋1x＝－1(方程无解，舍去)或x＋1x＝4，故x＋1x＝4.12．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝32成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．(2)求使x1x2＋x2x1－2的值为整数的实数k的整数值．【答案】（1）k＝－97；（2）k＝－2或k＝－3或k＝－5【解析】Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k(k≠0)，Δ≥0，k0(因为k≠0)，(1)存在，x1＋x2＝1，x1x2＝k＋14k，由(2x1－x2)(x1－2x2)＝32得：2(x1＋x2)2－9x1x2＝32.2－9×k＋14k＝32，所以k＝－97.(2)x21＋x22x1x2－2＝（x1＋x2）2－2x1x2x1x2－2＝1k＋14k－4＝4kk＋1－4＝－4k＋1.因为－4k＋1的值为整数，所以k＋1＝±1，k＋1＝±2，k＋1＝±4，所以k＝0或k＝－2或k＝1或k＝－3或k＝3或k＝－5，因为k0，所以k＝－2或k＝－3或k＝－5.