2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题三三角函数与解三角形理解析

1．三角函数的考查大多为三角函数性质与图象的考查，其中三角函数图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，难度中等偏简单．2．解三角形的考查常与三角恒等变换结合，考查正弦定理、余弦定理的综合使用，利用三角恒等变换进行化简等，难度中等偏简单．一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式：如果半径为𝑟的圆的圆心角𝛼所对的弧的长为𝑙，那么角𝛼的弧度数的绝对值是lr．相关公式：①𝑙=|𝛼|𝑟②21122Slrr（2）诱导公式：正弦余弦正切𝛼+𝑘⋅2𝜋sin𝛼cos𝛼tan𝛼𝛼+𝜋−sin𝛼−cos𝛼tan𝛼−𝛼−sin𝛼cos𝛼−tan𝛼𝜋−𝛼sin𝛼−cos𝛼−tan𝛼考点清单命题趋势专题3××三角函数与解三角形2cos𝛼−sin𝛼2cos𝛼sin𝛼32−cos𝛼sin𝛼32−cos𝛼−sin𝛼（3）同角三角函数关系式：sin2𝛼+cos2𝛼=1，sintancos（4）两角和与差的三角函数：sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽sin(𝛼−𝛽)=sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽cos(𝛼+𝛽)=cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽cos(𝛼−𝛽)=cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽tantantan()1tantantantantan()1tantan（5）二倍角公式：sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼cos2𝛼=cos2𝛼−sin2𝛼=1−2sin2𝛼=2cos2𝛼−122tantan21tan（6）降幂公式：21cos2sin2，21cos2cos22．三角函数性质性质𝑦=sin𝑥，𝑥∈𝐑𝑦=cos𝑥，𝑥∈𝐑奇偶性奇函数偶函数单调性在区间在区间[−𝜋+2𝑘𝜋，2𝑘𝜋](𝑘∈𝐙)上2,222kkkZ上是增函数，在区间32,222kkkZ上是减函数是增函数，在区间[2𝑘𝜋，𝜋+2𝑘𝜋](𝑘∈𝐙)上是减函数最值在22xkkZ时，𝑦max；在22xkkZ时，𝑦min在𝑥=2𝑘𝜋(𝑘∈𝐙)时，𝑦max；在𝑥=2𝑘𝜋+𝜋(𝑘∈𝐙)时，𝑦min对称中心(𝑘𝜋，0)(𝑘∈𝐙),02kkZ对称轴2xkkZ𝑥=𝑘𝜋(𝑘∈𝐙)正切函数的性质图象特点定义域为{|,}2xxkkZ图象与直线,2xkkZ没有交点值域为𝑅图象向上、向下无限延伸最小正周期为𝜋在区间,,22kkkZ上图象完全一样在,,22kkkZ内是增函数图象在,,22kkkZ内是上升的对称中心为,0,2kkZ图象关于点,0,2kkZ成中心对称3．函数𝑦=sin(𝑥+)的图象及变换（1）对函数𝑦=sin(𝑥+)的图象的影响（2）(0)对𝑦=sin(𝑥+)的图象的影响（3）(0)对𝑦=sin(𝑥+)的图象的影响4．函数𝑦=sin(𝑥+)的性质（1）函数𝑦=sin(𝑥+)(0，0)中参数的物理意义（2）函数𝑦=sin(𝑥+)(0，0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．若角2的终边在直线𝑦=−2𝑥上，则sin(2021𝜋+𝛼)⋅cos(𝜋−𝛼)+cos2𝛼+1=（）A．2B．16C．65D．1【答案】A【解析】因为角2的终边在直线𝑦=−2𝑥上，所以tan22，即sin22cos2，即cos2sin，所以cos𝛼=2sin𝛼，所以sin2021coscos21sincoscos2122222222sincos2cos2sin8sin10sincos2cos2sincossin4sin5，故选A．【点评】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．关键点是：构造齐次式2222sincos2cossincos2cossincos，使问题相对容易求解．2．若将函数𝑦=3sin2𝑥的图象向右平移6个单位长度，平移后图象的一条对称轴为（）A．56xB．512xC．3xD．23x【答案】B经典训练题精题集训（70分钟）【解析】将函数𝑦=3sin2𝑥的图象向右平移6个单位长度，所得的函数为3sin23sin(2)63yxx，由2,32xkkZ，得5,122kxkZ，当𝑘=0时，512x，故选B．【点评】本题主要考查三角函数的图象的平移变换，以及对称性，属于基础题．3．将函数𝑓(𝑥)=sin𝑥+√3cos𝑥图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移2个单位长度，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则该函数在[0，𝜋]上的单调递增区间是（）A．0,B．50,6C．5,66D．,6【答案】B【解析】sin3cos2sin3fxxxx，将其图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得12sin23hxx，再向右平移2个单位长度后得到112sin2sin223212gxxx，令12222122kxk，kZ，得754466kxk，kZ，令𝑘=0，得7566x，因为𝑥∈[0，𝜋]，所以50,6x，所以函数𝑔(𝑥)在[0，𝜋]上的单调递增区间是50,6，故选B．【点评】已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为sin0,0yAxA或cos0,0yAxA的形式，然后将𝑥+看成一个整体，根据𝑦=sin𝑥与𝑦=cos𝑥的单调区间列不等式求解．4．已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+)，(0,)2的部分图象如图所示，𝑓(𝑥)的图象过,14A，5,14B两点，将𝑓(𝑥)的图象向左平移712个单位得到𝑔(𝑥)的图象，则函数𝑔(𝑥)在30,4上的最小值为（）A．−√2B．√2C．−√3D．−1【答案】A【解析】由图象知，5244T，∴𝑇=2𝜋，则1，∴𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+)，将点,14A的坐标代入得，2sin14，即1sin42，又2，∴12，则2sin12fxx，将𝑓(𝑥)的图象向左平移712个单位得到函数72sin2sin2cos12122gxxxx，∴𝑔(𝑥)在30,4上的最小值为32cos24，故选A．【点评】本题主要考了三角函数关系式的求法，正弦型函数的性质及应用，主要考查学生的运算能力，转换能力属于基础题．5．已知函数223sincos2cos1(0)222xxxfx的周期为𝜋，当0,2x时，方程fxm恰有两个不同的实数解𝑥1，𝑥2，则𝑓(𝑥1+𝑥2)=（）A．2B．1C．1D．2【答案】B【解析】223sincos2cos13sincos2sin2226xxxfxxxx，由2T，得=2，2sin26fxx．作出函数𝑓(𝑥)在0,2x上的图象如图：由图可知，123xx，1212sin221362fxx．故选B项．【点评】本题考查正弦型函数的化简及其图象与性质，属于简单题．6．已知函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥−2cos𝑥，下列说法正确的是（）①函数𝑓(𝑥)是周期函数；②6x是函数𝑓(𝑥)图象的一条对称轴；③函数𝑓(𝑥)的增区间为72,266kkkZ；④函数𝑓(𝑥)的最大值为332．A．①④B．①③C．②③④D．①③④【答案】D【解析】𝑇=2𝜋为函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥−2cos𝑥的一个周期，故①正确；因为03ff，所以6x不是函数𝑓(𝑥)的对称轴，故②不正确；𝑓′(𝑥)=2cos2𝑥+2sin𝑥=−4sin2𝑥+2sin𝑥+2=(4sin𝑥+2)(−sin𝑥+1)，令𝑓′(𝑥)≥0，得1sin12x，所以函数𝑓(𝑥)的增区间为72,266kkkZ，故③正确；𝑓(𝑥)=2cos𝑥(sin𝑥−1)，𝑇=2𝜋，不妨取𝑥∈[0，2𝜋]，又因为求最大值必有𝑓(𝑥)0，所以只需考虑3,22x，又可由𝑓′(𝑥)=(4sin𝑥+2)(−sin𝑥+1)0，得𝑓(𝑥)在7,26上单调递增，在73,62上单调递减，所以函数𝑓(𝑥)的最大值为73362f，故④正确，故选D．【点评】本题主要考查了求三角函数的性质，包括周期性，对称轴，单调性和最值．属于中档题．7．将函数𝑓(𝑥)=cos𝑥的图象先向右平移56个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)倍，纵坐标不变，得到函数𝑔(𝑥)的图象，若函数𝑔(𝑥)在3,22上没有零点，则的取值范围是（）A．2280,,939B．20,9C．280,,199D．0,1【答案】A【解析】函数𝑓(𝑥)=cos𝑥的图象先向右平移56个单位长度，可得5cos6yx的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos6gxx的图象，∴周期2T，若函数𝑔(𝑥)在3,22上没有零点，∴553526626x，∴35526262T，21，解得0≤1，又522635226kk，解得3412323k，当0k时，解2839；当1k时，0≤1，可得209，2280,,939，故答案为A．【点评】本题考查函数𝑦