2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题五三角函数与解三角形文解析

1．三角函数（1）以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、单调性、对称性、周期性．（2）考查三角函数式的化简，三角函数的图象的性质以及平移和伸缩变换．2．解三角形（1）利用正余弦定理进行三角形边和角的计算，三角形形状的判断、面积的计算，以及有关的参数的范围．（2）考查运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、三角函数1．公式（1）诱导公式：正弦余弦正切𝛼+𝑘⋅2πsin𝛼cos𝛼tan𝛼𝛼+π−sin𝛼−cos𝛼tan𝛼−𝛼−sin𝛼cos𝛼−tan𝛼π−𝛼sin𝛼−cos𝛼−tan𝛼π2cos𝛼−sin𝛼π2cos𝛼sin𝛼3π2−cos𝛼sin𝛼考点清单命题趋势专题5××三角函数与解三角形3π2−cos𝛼−sin𝛼（2）同角三角函数关系式：22sincos1，sintancos（3）两角和与差的三角函数：sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan（4）二倍角公式：sin22sincos2222cos2cossin12sin2cos122tantan21tan（5）降幂公式：21cos2sin2，21cos2cos22．三角函数性质性质sin,yxxRcos,yxxR奇偶性奇函数偶函数单调性在区间2π,2π22ππkkkZ上是增函数，在区间在区间π2π,2πkkkZ上是增函数，在区间2π,π2πkkkZ上是减函数32π,π2ππ22kkkZ上是减函数最值在π2π2xkkZ时，𝑦max；在π2π2xkkZ时，𝑦min在𝑥=2𝑘π(𝑘∈𝐙)时，𝑦max；在𝑥=2𝑘π+π(𝑘∈𝐙)时，𝑦min对称中心(𝑘π，0)(𝑘∈𝐙)π,0π2kkZ对称轴ππ2xkkZ𝑥=𝑘𝜋(𝑘∈𝐙)正切函数的性质图象特点定义域为{|π,}2πxxkkZ图象与直线π,π2xkkZ没有交点值域为𝐑图象向上、向下无限延伸最小正周期为π在区间π,π,22ππkkkZ上图象完全一样在π,π,22ππkkkZ内是增函数图象在π,π,22ππkkkZ内是上升的对称中心为π,0,2kkZ图象关于点π,0,2kkZ成中心对称3．函数𝑦=sin(𝑥+)的图象及变换（1）对函数𝑦=sin(𝑥+)的图象的影响（2）(0)对𝑦=sin(𝑥+)的图象的影响（3）(0)对𝑦=sin(𝑥+)的图象的影响4．函数𝑦=sin(𝑥+)的性质（1）函数𝑦=sin(𝑥+)(0，0)中参数的物理意义（2）函数𝑦=sin(𝑥+)(0，0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在ABC△中，已知，和角A时，解得情况如下：A为锐角A为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，，无解．A为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．若1sin33，则cos23（）A．79B．23C．23D．79【答案】A【解析】1sincoscos32363，2217cos2cos22cos12136639，故选A．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2．函数2sincos24fxxx的最大值为（）A．12B．332C．22D．3【答案】B【解析】因为2sincos24fxxx，所以2sinsin22sin2sincos44444fxxxxxx，令4x，则2sin2sincos2sinsin2f，则222cos2cos222cos12cos4cos2cos2f，令𝑓′(𝜃)=0，得cos1或1cos2，当11cos2时，𝑓′(𝜃)0；1cos12时，𝑓′(𝜃)0，经典训练题精题集训（70分钟）所以当1cos2时，𝑓(𝜃)取得最大值，此时3sin2，所以max332fx，故选B．【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．3．已知锐角满足3sincos1．若要得到函数21sin2fxx的图象，则可以将函数1sin22yx的图象（）A．向左平移7π12个单位长度B．向左平移π12个单位长度C．向右平移7π12个单位长度D．向右平移π12个单位长度【答案】A【解析】由3sincos1，知2sin()16，即1sin()62，∴锐角3，故221112sinsincos(2)22323fxxxx，又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626xxx，∴17sin(2)26fxx，故𝑓(𝑥)是将1sin22yx向左平移7π12个单位长度得到，故选A．【点评】由辅助角公式化简已知条件求锐角，根据𝑓(𝑥)的函数式，应用二倍角、诱导公式将𝑓(𝑥)化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式．4．已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+)，(0,)2的部分图象如图所示，𝑓(𝑥)的图象过,14A，5,14B两点，将𝑓(𝑥)的图象向左平移712个单位得到𝑔(𝑥)的图象，则函数𝑔(𝑥)在30,4上的最小值为（）A．−√2B．√2C．−√3D．−1【答案】A【解析】由图象知，5244T，∴𝑇=2𝜋，则1，∴𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+)，将点,14A的坐标代入得，2sin14，即1sin42，又2，∴12，则2sin12fxx，将𝑓(𝑥)的图象向左平移712个单位得到函数72sin2sin2cos12122gxxxx，∴𝑔(𝑥)在30,4上的最小值为32cos24，故选A．【点评】本题主要考查三角函数图象，需要利用三角函数的周期性以及对称性进行处理，再结合图象的平移，三角函数的单调性进行解题，本题属于中档题．5．已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥−√3cos𝑥（0，xR）的图象与𝑥轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，把函数𝑓(𝑥)的图象沿𝑥轴向左平移3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数𝑔(𝑥)的图象，则下列关于函数𝑔(𝑥)的命题中正确的是（）A．函数𝑔(𝑥)是奇函数B．𝑔(𝑥)的图象关于直线6x对称C．𝑔(𝑥)在,33上是增函数D．当,66ππx时，函数𝑔(𝑥)的值域是[0，2]【答案】B【解析】πsin3cos2sin3fxxxx，由题意知函数周期为π，则2T，2，从而π2sin23fxx，把函数𝑓(𝑥)的图象沿𝑥轴向左平移3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数2sinπ3gxx，𝑔(𝑥)不是奇函数，A错；𝑔(𝑥)在,36是单调递增，C错；,66x时，函数𝑔(𝑥)的值域是[1，2]，D错；𝑔(𝑥)的图象关于直线π6x对称，B对，只有选项B正确，故选B．【点评】本题考查三角函数，图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．6．在△𝐵𝐶中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若3A，𝑏=4，△𝐵𝐶的面积为3√3，则sin𝐵=（）A．23913B．3913C．5213D．31313【答案】A【解析】1sin3332SbcAc，所以𝑐=3，由余弦定理可得2222cos13abcbcA，得𝑎=√13，又由正弦定理可得sinsinabAB，所以sin239sin13bABa，故选A．【点评】本题主要考了三角形的面积公式以及余弦定理公式的运用，属于基础题型．7．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sincossinCAB，则𝛥𝐵𝐶的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sincossinCAB变形为sinsincosCBA，由内角和定理可得sin()cossinABAB，化简可得sincos0AB，cos0B，所以2B，所以三角形为钝角三角形，故选A．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．二、填空题．8．已知(0,π)，且有1−2sin2𝛼=cos2𝛼，则cos𝛼=_________．【答案】55【解析】2212sin2cos214sincos12sinsin2sincos，因为(0,π)，所以sin0，因此由2πsin2sincossin2costan20,2，而22sincos11，把sin2cos代入(1)得：222154coscos1coscos55，而2π0,，因此5cos5，故答案为55．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．9．已知角𝛼的顶点为坐标原点，始边为𝑥轴的正半轴，终边经过点𝑃(3，4)，则tanπ2___________．【答案】34【解析】由三角函数的定义可得2244sin534，2233cos534，因此，3sincos325tan42sin4cos52，故答案为34．【点评】本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．三、解答题．10．已知函数2()22sincos22cos2222xxxfx．（1）求函数𝑓(𝑥)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程𝑓(𝑥)=√3(0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求的取值范围．【答案】（1）2,2；（2）5,12．【解析】（1）2π2