2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题八排列组合二项式定理理解析

1．排列组合的考查主要以实际生活为背景，以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，通常还会与概率结合进行考查，难度中等．2．二项式定理主要以选择题或者填空题的形式进行考查，常考的内容为，求展开式中特定项的系数，或者已知特定项的系数求参数，以及运用赋值法求特定项系数和的问题．1．排列、组合的定义排列的定义从𝑛个不同元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从𝑛个不同元素中取出𝑚个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从𝑛个不同元素中取出𝑚个元素的一个组合2．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从𝑛个不同元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛，𝑚，𝑛∈𝐍∗)个元素的所有不同排列的个数从𝑛个不同元素中取出𝑚(𝑚≤𝑛，𝑚，𝑛∈𝐍∗)个元素的所有不同组合的个数公式121mnAnnnnm!!nnm121!mmnnmmnnnnmACAm考点清单命题趋势专题8××排列组合、二项式定理性质𝐴𝑛𝑛=𝑛!，0!=1𝐶𝑛0=1，𝐶𝑛𝑚=𝐶𝑛𝑛−𝑚，𝐶𝑛𝑚+𝐶𝑛𝑚−1=𝐶𝑛+1𝑚正确理解组合数的性质（1）𝐶𝑛𝑚=𝐶𝑛𝑛−𝑚：从𝑛个不同元素中取出𝑚个元素的方法数等于取出剩余𝑛−𝑚个元素的方法数．（2）𝐶𝑛𝑚+𝐶𝑛𝑚−1=𝐶𝑛+1𝑚：从𝑛+1个不同元素中取出𝑚个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素𝐴有𝐶𝑛𝑚种方法；②含特殊元素𝐴有𝐶𝑛𝑚−1种方法．3．二项式定理（1）二项式定理：(𝑎+𝑏)𝑛=𝐶𝑛0𝑎𝑛+𝐶𝑛1𝑎𝑛−1𝑏+⋯+𝐶𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘+⋯+𝐶𝑛𝑛𝑏𝑛(𝑛∈𝐍∗)❶；（2）通项公式：𝑇𝑘+1=𝐶𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘，它表示第𝑘+1项；（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为𝐶𝑛0，𝐶𝑛1，⋯，𝐶𝑛𝑛❷．4．二项式系数的性质（1）①项数为𝑛+1．②各项的次数都等于二项式的幂指数𝑛，即𝑎与𝑏的指数的和为𝑛．③字母𝑎按降幂排列，从第一项开始，次数由𝑛逐项减1直到零；字母𝑏按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到𝑛．（2）二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指𝐶𝑛0，𝐶𝑛1，…，𝐶𝑛𝑛，它只与各项的项数有关，而与𝑎，𝑏的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与𝑎，𝑏的值有关．如(𝑎+𝑏𝑥)𝑛的二项展开式中，第𝑘+1项的二项式系数是𝐶𝑛𝑘，而该项的系数是𝐶𝑛𝑘𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘．当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．一、选择题．1．在621xx的展开式中，𝑥3的系数为（）A．−15B．15C．−20D．20【答案】C【解析】由二项式定理得621xx的展开式的通项621231661(1)rrrrrrrTCxCxx，令12−3𝑟=3，得𝑟=3，所以𝑇4=𝐶63𝑥3(−1)3=−20𝑥3，所以𝑥3的系数为−20，故选C．【点评】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．2．在621xx的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（）A．63B．517C．217D．177【答案】B【解析】常数项是32246332221166465222111581CxCxCCxCxxx，令𝑥=1求各项系数和，(1+2−1)6=64，则除常数项外，其余各项系数的和为64−581=−517，故选B．【点评】本题主要考查了二项式定理及其通项公式的应用．3．为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（）A．540B．240C．150D．120【答案】C【解析】根据题意分派到3个贫困村得人数为3，1，1或2，2，1，经典训练题精题集训（70分钟）当分派到3个贫困村得人数为3，1，1时，有𝐶53𝐴33=60种；当分派到3个贫困村得人数为2，2，1时，有223533902CCA种，所以共有60+90=150种，故选C．【点评】本题考查了两个计数原理和简单的排列组合问题，属于基础题．4．高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为（）A．4B．8C．16D．24【答案】B【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有𝐶21×𝐶21×𝐴22=8（种），故选B．【点评】本题主要考查了分布分类计数原理，属于基础题．5．甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数（）A．18B．24C．30D．36【答案】C【解析】先计算4人中有两名分在一个地方的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全排列共有𝐶42𝐴33种，再排除甲乙被分在同一地方的情况共有𝐴33种，所以不同的安排方法种数是𝐶42𝐴33−𝐴33=36−6=30，故选C．【点评】本题考查了排列组合的综合运用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题．6．2020年我国实现全面建设成小康社会的目标之年，也是全面打赢脱贫攻坚战之年．某乡镇为了了解本镇脱贫攻坚情况，现派出甲、乙、丙3个调研组到𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸等5个村去，每个村一个调研组，每个调研组至多去两个村，则甲调研组到𝐴村去的派法有（）A．48种B．42种C．36种D．30种【答案】D【解析】甲只去1村，则方法为𝐶42𝐶22，甲去2个村调查，则方法数有𝐶41𝐶32𝐴22，∴总方法数为𝐶42𝐶22𝐶41𝐶32𝐴22=30，故选D．【点评】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的过程方法，根据完成事件的方法选择分类计数原理和分步计数原理．7．如图所示的五个区域中，中心区𝐸域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．56B．72C．64D．84【答案】D【解析】分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有432248种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有431336种，共有84种，故答案为D．【点评】（1）本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法．8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆．将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．72B．84C．96D．120【答案】B【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有𝐶41⋅𝐴44=96种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有424！种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复．故共有96−12=84种，故选B．【点评】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力．9．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．110【答案】B【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务，基本事件总数𝑛=𝐶52𝐶33𝐴22=20，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数𝑚=𝐶22𝐶33𝐴22+𝐶22𝐶31𝐶22𝐴22=8，所以大夫、不更恰好在同一组的概率为82205mpn，故选B．【点评】本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（多选）已知212naxax的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（）A．1aB．展开式中偶数项的二项式系数和为512C．展开式中第6项的系数最大D．展开式中的常数项为45【答案】BCD【解析】由题意，21452nnnC，所以𝑛=10（负值舍去），又展开式中各项系数之和为1024，所以(1−𝑎)10=1024，所以𝑎=−1，故A错误；偶数项的二项式系数和为10112102451222，故B正确；1021xx展开式的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；1021xx的展开式的通项1510522211010rrrrrrTCxxCx，令5502r，解得𝑟=2，所以常数项为21045C，故D正确，故选BCD．【点评】本题主要考查了二项式基本定理及其通项，属于基础题．二、填空题．11．记,,,,,abcdef为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑒+𝑓)为偶数的排列的个数共有________．【答案】432【解析】根据题意，𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，𝑒，𝑓为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有𝐴66=720个排列，若()()()abcdef为偶数的对立事件为“()()()abcdef为奇数”，(𝑎+𝑏)、()cd、()ef全部为奇数，有634221288，故()()()abcdef为偶数的排列的个数共有720288432，故答案为432．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．12．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是_______．【答案】2105【解析】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，基本事件总数510nA，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有16C种，4只次品必有一只排在第五次测试，有14C种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有44A种．于是根据分步计数原理有114644CCA种．∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p1146445102105CCAA，故答案为2105．【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．13．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种．（结果用数字表示）【答案】336【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有𝐴44种排法，再安排空盒，有𝐶52𝐴