2021届高考数学全国统考版二轮复习梳理纠错预测学案专题六平面向量文解析

平面向量的命题以客观题为主，以熟知的平面图形为背景，考查平面向量的基本定理及基本运算，另外向量作为工具进行考查，三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题的形式出现．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)一般用有向线段来表示向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为aa平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则运算律考点清单命题趋势专题6××平面向量(或几何意义)加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：abba；（2）结合律：abcabc减法若bxa，则向量𝒙叫做a与b的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法三角形法则abab数乘实数𝜆与向量a相乘，叫做向量的数乘（1）aa；（2）当𝜆0时，a的方向与a的方向相同；当𝜆0时，a的方向与a的方向相反；当𝜆=0时，0aaa；aaa；abab3．共线向量定理向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数𝜆，使得ba．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e，2e是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数𝜆1，𝜆2，使1122aee．其中，不共线的非零向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11,xya，22,xyb，则1212,xxyyab，1212,xxyyab，11,xya，2211xya．3．平面向量共线的坐标表示设11,xya，22,xyb，其中0b．12210xyxy∥ab．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量𝒂和𝒃，它们的夹角为𝜃，则数量|𝒂||𝒃|cos𝜃叫做向量𝒂和𝒃的数量积，记作𝒂⋅𝒃=|𝒂||𝒃|cos𝜃．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：|𝒂|cos𝒂，𝒃叫做向量𝒂在𝒃方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11,xya，22,xyb，则（1）𝒂⋅𝒃=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2（2）𝒂⊥𝒃⇔𝒂⋅𝒃=0⇔𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=0（3）121222221122cos,xxyyxyxyab一、选择题．1．已知向量𝒂=(𝑚，−1)，(3,4)b，且|𝒂|=1，则𝒂⋅𝒃=（）A．4B．1C．4D．7【答案】C【解析】因为|𝒂|=1，所以𝑚=0，所以𝒂⋅𝒃=0×3+(−1)×(−4)=4，故选C．经典训练题精题集训（70分钟）【点评】本题考点为向量的模长，以及向量的坐标运算，属于基础题．2．已知单位向量𝒂，𝒃满足𝒂⋅𝒃=0，若向量𝒄=√7𝒂+√2𝒃，则sin,ac（）A．73B．23C．79D．29【答案】B【解析】因为𝒂，𝒃是单位向量，所以|𝒂|=|𝒃|=1．因为𝒄=√7𝒂+√2𝒃，所以2227272723cababab．所以2727277cos,3aabacaabacacacacc，所以272sin,133ac，故选B．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．3．已知双曲线2222:1xyCab(𝑎0，𝑏0)的左､右焦点分别为𝐹1，𝐹2，且以𝐹1𝐹2为直径的圆与双曲线𝐶的渐近线在第四象限交点为𝑃，𝑃𝐹1交双曲线左支于𝑄，若2𝐹1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，则双曲线的离心率为（）A．1012B．10C．512D．5【答案】A【解析】𝐹1(−𝑐，0)，𝐹2(𝑐，0)，圆方程为𝑥2+𝑦2=𝑐2，由222xycbyxa，由𝑎2+𝑏2=𝑐2，𝑥0，𝑦0，解得xayb，即𝑃(𝑎，−𝑏)，设00(),Qxy，由2𝐹1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，(𝑎−𝑥0，−𝑏−𝑦0)=2(𝑥0+𝑐，𝑦0)，得023acx，03by，因为𝑄在双曲线上，∴2222(2)199acbab，(1−2𝑒)2=10，解得1012e或1102e（舍去），故选A．【点评】解题关键是找到关于𝑎，𝑏，𝑐的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得𝑃点坐标，由向量线性关系得𝑄点坐标，代入双曲线方程可得．4．设𝒂，𝒃为单位向量，且|𝒂−𝒃|=1，则|𝒂+2𝒃|=（）A．√3B．√7C．3D．7【答案】B【解析】因为𝒂，𝒃为单位向量，且|𝒂−𝒃|=1，所以(𝒂−𝒃)2=1，所以𝒂2−2𝒂⋅𝒃+𝒃2=1，解得12ab，所以|𝒂+2𝒃|=√|𝒂+2𝒃|2=√𝒂2+4𝒂⋅𝒃+4𝒃2=√7，故选B．【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查．5．若向量𝒂，𝒃满足|𝒂|=2，(𝒂+2𝒃)⋅𝒂=6，则𝒃在𝒂方向上的投影为（）A．1B．12C．12D．1【答案】B【解析】设𝒂，𝒃的夹角为𝜃，则(𝒂+2𝒃)⋅𝒂=𝒂2+2𝒂⋅𝒃=|𝒂2|+2|𝒂|⋅|𝒃|⋅cos𝜃=4+4|𝒃|cos𝜃=6，则1cos2b，即𝒃在𝒂方向上的投影为1cos2b，故选B．【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6．如图所示的△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是线段𝐴𝐶上靠近𝐴的三等分点，点𝐸是线段𝐴𝐵的中点，则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．1136BABCB．1163BABCC．5163BABCD．5163BABC【答案】B【解析】依题意，11111113233263DEDAAEACBABCBABABABC，故选B．【点评】本题考查了向量的加法法则以及向量的数乘运算，属于基础题．一、选择题．1．已知平面上三点𝐴，𝐵，𝐶满足|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=6，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=8，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=10，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．48B．−48C．100D．−100【答案】D【解析】|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=6，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=8，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=10，∴|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2，故𝛥𝐴𝐵𝐶为直角三角形，且90BAC，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=−|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=−100，故选D．【点评】本题主要考查了向量的运算，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．高频易错题二、填空题．2．已知||2a，||3b，a，b的夹角为45，当向量ab与ab的夹角为锐角时，求实数的取值范围．【答案】5(,1)(1,)12【解析】||||cos453abab，因为向量ab与ab的夹角为锐角，所以()()0abab，由22()()(1)1250ababaabb，得512，当向量ab与ab方向相同时，1，即当1时，虽然()()0abab，但向量ab与ab夹角为0，所以的取值范围是,11,125．【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，考查数量积与夹角的关系，考查计算能力，是中档题．一、选择题．1．如图，已知𝛥𝐴𝐵𝐶与𝛥𝐴𝑀𝑁有一个公共顶点𝐴，且𝑀𝑁与𝐵𝐶的交点𝑂平分𝐵𝐶，若ABmAM，ACnAN，则12mn的最小值为（）精准预测题A．4B．322C．322D．6【答案】C【解析】12AOABAC，又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗，22mnAOAMAN，又𝑀，𝑂，𝑁三点共线，122mn，即得𝑚+𝑛=2，易知𝑚0，𝑛0，12121333122222222222mnnmnmnmmnmnmnmnmn，当且仅当22nmmnmn，即222422mn时，取等号，故选C．【点评】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）．2．若向量13,22BA，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，1)，则△𝐴𝐵𝐶的面积为（）A．12B．32C．1D．3【答案】A【解析】因为13,22BA，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(√3，1)，所以33322BABC，|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=1，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2，则33cos122BABCBBABC，π6B，所以11sin22ABCSBABCB△，故选A．【点评】本题考查了三角形面积的求法，考查向量的数量积公式、向量的夹角公式、三角形面积公式、平面向量的坐标运算，向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，是基础题．3．在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=7𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，且𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗．则𝜆+𝜇=（）A．−5B．−6C．5D．6【答案】A【解析】因为𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=7𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=−6𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−6𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝜆+𝜇=1−6=−5，故选A．【点评】解答本题的关键是根据图形特点以及点的位置利用𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗、𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗表示出𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，从而完成求解．4．已知抛物线𝑥2=4𝑦的焦点为𝐹，过𝐹的直线𝑙与抛物线相交于𝐴，𝐵两点，70,2P．若𝑃𝐵⊥𝐴𝐵，则|𝐴𝐹|=（）A．32B．2C．52D．3【答案】D【解析】由题意可知，𝐹(0，1)，设2114,xAx，2224,xBx，则2227,42xPBx，222,14xBFx，因为𝑃𝐵⊥𝐴𝐵，且𝐴，𝐵，𝐹三点共线，则由0ABPB，可得0BFPB，所以222222710424xxx